中国矿业大学《高等数学》3.1微分中值定理.pptVIP

第三章 第一节 一、罗尔( Rolle )定理 罗尔（ Rolle ）定理 若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 2) 定理条件只是充分的. 例1. 证明方程 例2. 设 例3. 设实数 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理的有限增量形式: 推论2: 例5. 例6. 证明等式 例7. 证明不等式 例8. 设函数 三、柯西(Cauchy)中值定理 证: 作辅助函数 柯西定理的几何意义: 例8. 设 例9. 试证至少存在一点 例9. 试证至少存在一点 例11. 内容小结 思考与练习 2. 设 3. 若 4. 思考: 在 作业 费马(1601 – 1665) 拉格朗日 (1736 – 1813) 柯西(1789 – 1857) 法国数学家. 他在方程论, 解析函数论, 及数论方面都作出了重要的贡献, 近百 余年来, 数学中的许多成就都可直接或 间接地追溯到他的工作, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一. 法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的是为巴黎综合学校 编写的《分析教程》, 《无穷小分析概论》, 《微积分 在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 广泛而深远 . 对数学的影响 他是经典分析的奠基人之一, 他为微积 分所奠定的基础推动了分析数学的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , * 目录 上页 下页 返回 结束 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广 微分中值定理 与导数的应用 一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日( Lagrange )中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中值定理 第三章 费马(fermat)引理 且 存在 证: 设 则 费马 证毕 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 证: 故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 因此 在( a , b ) 内至少存在一点 不妨设 则至少存在一点 使 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定 成立. 则由费马引理得 例如, 使 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且 在( a , b ) 内至少存在一点 证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 . 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由零点定理知存在 使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真! 设 在 内可导, 且 证明至少存在一点 使 上连续, 在 证: 问题转化为证 设辅助函数 显然 在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至 使 即有 少存在一点 满足下述等式 证明方程 在 ( 0 , 1) 内至少有一 个实根 . 证: 令 则可设 且 由罗尔定理知存在一点 使 即 例4. 求证: 存在 使 设 可导，且 在 连续， 证： 因此至少存在 显然 在 上满足罗尔定理条件, 即 设辅助函数 使得 (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 使 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 , 在[a, b] 上连续, 在(a, b)内可导, 且 证: 问题转化为证 由罗尔定理知至少存在一点 即定理结论成立 . 拉氏 证毕 A B C 推论: 若函数 在区间 I 上满足 则 在 I 上必为常数. 证: 在 I 上任取两点 格朗日中值公式 , 得 由 的任意性知, 在 I 上为常数 . 令 则 若函数 在区间(a , b)内每一点 x 处都有 则 和 最多相差一个常数, 即 (其中C为常数). 设 证明对任意 有 证： 不妨设 证: 设 由推论可知 (常数) 令 x = 0 , 得 又 故所证等式在定义域 上成立. 自证: 经验: 欲证 时 只需证在 I 上 证: 设 中值定理条件, 即 因为 故 因此应有 在 内可导, 且 证明 在 内有界. 证: 取点 再取异于 的点 对 为端点的区间上用拉氏中值定理, 得 (定数) 可见对任意 即得所证 . 分析: 及 (1) 在闭区间 [ a , b ] 上