中国矿业大学《高等数学》3.2洛必达法则.pptVIP

第二节 一、 证: 推论1. 例1. 求 例2. 求 二、 例3. 求 例4. 求 说明: 类似的例子如, 3) 若 三、其他未定式: 例6. 求 例7. 求 例8. 求 例9. 求 内容小结 应用洛必达法则应注意的问题 思考与练习 3. 4. 求 5. 作业 洛必达(1661 – 1704) 法国数学家, 他著有《无穷小分析》 (1696), 并在该书中提出了求未定式极 限的方法, 后人将其命名为“ 洛必达法 的摆线难题 , 以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 线 ” 问题 , 在他去世后的1720 年出版了他的关于圆 锥曲线的书 . 则 ”. 他在15岁时就解决了帕斯卡提出 * 目录 上页 下页 返回 结束 三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 洛必达法则 第三章 微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型) 本节研究: 洛必达法则 洛必达 存在 (或为 ) 定理 1. 型未定式 (洛必达法则) ( ? 在 x , a 之间) 无妨假设 在指出的邻域内任取 则 在以 x, a 为端点的区间上满足柯 故 定理条件: 西定理条件, 存在 (或为 ) 定理 1 中 换为下列过程之一: 推论 2. 若 理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. 洛必达法则 定理1 解: 原式 注意: 不是未定式不能用洛必达法则 ! 洛 洛 解: 原式 思考: 如何求 ( n 为正整数) ? 洛 型未定式 存在 (或为∞) 定理 2. 证: 仅就极限 的情形加以证明 . (洛必达法则) 另外，在闭区间 下面仅证 由 可得： 对于 （1） 上由条件可知满足柯西中值定理， 因此可得： 因（1）可得： （2） 另一方面： 有界量 无穷小量 因此上式当 是无穷小量，则 说明: 定理中 换为 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立. 定理2 （3） 综合(2)(3), 这就证明了 解: 原式 例4. 求 解: (1) n 为正整数的情形. 原式 洛 洛 洛 (2) n 不为正整数的情形. 从而 由(1) 用夹逼准则 存在正整数 k , 使当 x 1 时, 例4. 例3. 1) 例3 , 例4 表明 时, 后者比前者趋于 更快 . 例如, 事实上 用洛必达法则 2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 极限不存在 不能用洛必达法则 ! 即 解决方法: 通分 转化 取倒数 转化 取指数 转化 例5. 求 解: 原式 洛 解: 原式 通分 转化 取倒数 转化 取指数 转化 洛 解: 利用 例5 例5 通分 转化 取倒数 转化 取指数 转化 解: 注意到 原式 洛 例3 法1. 直接用洛必达法则. 下一步计算很繁 ! 法2. 利用例3结果. 原式 例3 例3 洛必达法则 型的未定式应先化为 型或 型. 具体应化为哪一种, 应以一阶导数 之比比原来未定式简单的原则,视具体情况而定. 3. 若满足条件,洛必达法则可连续使用. 4. 若用洛必达法则时,永远是未定式,则此法不可用. 5. 若用洛必达法则求极限较繁时,可改用其他方法. 只有 型或 型未定式才能直接用洛必达法则. 6. 洛必达法则的条件是充分的不是必要的, 因此 不存在时(不包含 的情况), 并不能肯定, 不存在. 只是此时不能再用洛必达法则. 7. 洛必达法则是用于求连续自变量的函数的未定式的极限,对于数列的未定式不能直接使用洛必达法则. 但可以把 n 换成连续自变量 x . 把 f (n) , F (n) 写成 相应的函数f (x) , F (x) . 然后使用洛必达法则. 8. 洛必达法则最好能与求极限的其他方法结合使用. 1. 设 是未定式极限 , 如果 是否 的极限也不存在 ? 举例说明 . 极限不存在 , 说明3) 原式 分析: 说明3) 分析: 原式 ～ ～ 洛 则 解: 令 原式 洛 洛 求下列极限 : 解: 洛 则 原式 = 解: 令 (用洛必达法则) (继续用洛必达法则) 解: 原式 = 第三节 洛 P138 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)， (16), *4 * 目录 上页 下页 返回 结束 * * * *