中国矿业大学《高等数学》1.9-10.连续函数的运算及性质.pptVIP

一、连续函数的运算法则 第九节 二、初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数的运算与 初等函数的连续性 第一章 定理2. 连续单调递增 函数的反函数 在其定义域内连续 一、连续函数的运算法则 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母极限不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如, 在 上连续单调递增， 其反函数 (递减). (证明略) 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 递增 (递减) 也连续单调 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理3. 若 在 上连续 单调 递增, 其反函数 在 上也连续单调递增. 又如, 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 说明: 定理3可以写成下面两种形式 (1)式表示, 在定理的条件下, 函数符号和极限号可交换. (2)式表示, 在定理的条件下, 可通过代换化复合函数为 简单函数. 定理4. 连续函数的复合函数是连续的. 证: 设函数 于是 且 即 例如, 是由连续函数链 因此 在 上连续 . 复合而成 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 关于连续函数运算法则的说明 1.函数 f (x) 在 x0 处连续, g (x) 在 x0 处间断, 则F(x)= f (x) + g (x)在 x0 处必间断. 2.函数 f (x)与g (x)在 x0 处都间断, 则F(x) = f (x) · g (x)在 x0 处可能连续也可能间断. 3.函数 f (x)在 x0 处连续, g (x)在 x0 处间断, 则F(x) = f (x) · g (x)在 x0 处可能连续也可能间断. 4.函数 u=φ(x) 在 x0 处间断, u0=φ(x0) , y = f(u) 在 u0 处连续, 则y = f [φ(x)] 在 x0 处可能连续也可能间断. 举例 举例 举例 例1 . 设 均在 上连续, 证明函数 也在 上连续. (p69) 证: 根据连续函数运算法则 , 可知 也在 上 连续 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在定义区间内连续 例如, 的连续区间为 (端点为单侧连续) 的连续区间为 的定义域为 因此它无连续点 而 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求 解: 原式 例3. 求 解: 令 则 原式 说明: 当 时, 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求 解: 原式 说明: 若 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 设 解: 讨论复合函数 的连续性 . 故此时连续; 而 故 x = 1为第一类间断点 . 在点 x = 1 不连续 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 初等函数在定义区间内连续 说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 续? 反例 x 为有理数 x 为无理数 处处间断, 处处连续 . 反之是否成立? 提示: “反之” 不一定成立 . 第十节 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P69 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(6) ; 6 第十节 一、最值定理 二、介值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 闭区间上连续函数的性质 第一章 注意: 若函数在开区间内连续, 结论不一定成立 . 一、最值定理 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 则 使 值和最小值. 或在闭区间上有间断 在该区间上一定有最大 (证明略) 点 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论. 由定理 1 可知有 证: 设 上有界 . 二、介值定理 定理2. ( 零点定理 ) 至少有一点 且 使 机动 目录 上页 下页 返回