中国矿业大学《高等数学》1.1映射与函数.pptVIP

且 备用题 证明 证: 令 则 由 消去 得 时 其中 a, b, c 为常数, 且 为奇函数 . 为奇函数 . 1. 设 2 . 设函数 的图形与 均对称, 求证 是周期函数. 证: 由 的对称性知 于是 故 是周期函数 , 周期为 * 目录 上页 下页 返回 结束 引 言 一、什么是高等数学 ? 初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学. 1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册) (下册) 3.常微分方程 4.向量代数与空间解析几何 5.无穷级数 二、主要内容 多元微积分 第一章 分析基础 函数 极限 连续 — 研究对象 — 研究方法 — 研究桥梁 函数与极限 第一章 二、映射 三、函数 一、集合 第一节 映射与函数 元素 a 属于集合 M , 记作 元素 a 不属于集合 M , 记作 一、 集合 1. 定义及表示法 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 ? . ( 或 ) . 注: M 为数集 表示 M 中排除 0 的集 ; 表示 M 中排除 0 与负数的集 . 简称集 简称元 表示法： (1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 自然数集 (2) 描述法： x 所具有的特征 例: 整数集合 或 有理数集 p 与 q 互质 实数集合 x 为有理数或无理数 开区间 闭区间 无限区间 点的 ? 邻域 其中, a 称为邻域中心 , ? 称为邻域半径 . 半开区间 去心 ? 邻域 左 ? 邻域 : 右 ? 邻域 : 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 2. 集合之间的关系及运算 定义2 . 则称 A 若 且 则称 A 与 B 相等, 例如, 显然有下列关系 : , , ? 若 设有集合 记作 记作 必有 定义 3 . 给定两个集合 A, B, 并集 交集 且 差集 且 定义下列运算: 余集 直积 特例: 记 为平面上的全体点集 或 二、 映射 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号 某班学生的集合 某教室座位 的集合 按一定规则入座 引例1. 引例2. 引例3. (点集) (点集) 向 y 轴投影 定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应, 则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ; Y 的子集 称为 f 的 值域 . 注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则, 值域. 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一. 对映射 若 , 则称 f 为满射; 若 有 则称 f 为单射; 若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射. 引例2, 3 引例2 引例2 例1. 海伦公式 (满射) X (实数集 或其子集) 说明: 在不同数学分支中有不同的惯用 X (≠ ? ) Y (数集) f 称为X 上的泛函 X (≠ ? ) X f 称为X 上的变换 R f 称为定义在 X 上的函数 映射又称为算子. 名称. 例如, 定义域 三、函数 1. 函数的概念 定义5. 设数集 则称映射 为定义在 D 上的函数 , 记为 称为值域 函数图形: 自变量 因变量 (对应规则) (值域) (定义域) 例如, 反正弦主值 定义域 函数的表示方法: 解析法 、图像法 、列表法 使表达式或实际问题有意义的自变量集合. 定义域 值域 又如, 绝对值函数 定义域 值 域 对无实际背景的函数, 书写时可以省略定义域. 对实际问题, 书写函数时必须写出定义域； 例4. 已知函数 解: 及 写出 f (x) 的定义域及值域, 并求 f (x) 的定义域 值域 2. 函数的几种特性 设函数 且有区间 (1) 有界性 使 称 使 称 说明: 还可定义有上界、有下界、无界 . (2) 单调性 为有界函数. 在 I 上有界. 使 若对任意正数 M , 均存在 则称 f ( x ) 无界. 称 为有上界 称 为有下界 当 称 为 I 上的 称 为 I 上的 单调增函数 ; 单调减函数 . (见 P11 ) (3) 奇偶性 且有 若 则称 f (x) 为偶函数; 若 则称