中国矿业大学《高等数学》1.2数列的极限.pptVIP

第二节 一 、数列极限的定义 定义: 例如, 例1. 已知 例2. 已知 例3. 设 二、收敛数列的性质 例4. 证明数列 2. 收敛数列一定有界. 3. 收敛数列的保号性. 4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . 刘徽(约225 – 295年) 柯西(1789 – 1857) 作业 P30 1, *3 (2) , *4 第一章 二 、收敛数列的性质 一、数列极限的定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列的极限 数学语言描述: 引例. 设有半径为 r 的圆 , 逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知 当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) , 当 n N 时, 用其内接正 n 边形的面积 总有 刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 自变量取正整数的函数称为整标函数， 记作 称为数列。 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 几何解释 : 即 或 则称该数列 的极限为 a , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将 依照自然数n的顺序排列得到的序列 趋势不定 收 敛 发 散 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明数列 的极限为1. 证: 欲使 即 只要 因此 , 取 则当 时, 就有 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明 证: 欲使 只要 即 取 则当 时, 就有 故 故也可取 也可由 N 与 ? 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明: 取 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明等比数列 证: 欲使 只要 即 亦即 因此 , 取 , 则当 n N 时, 就有 故 的极限为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 用反证法. 及 且 取 因 故存在 N1 , 从而 同理, 因 故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有 1. 收敛数列的极限唯一. 使当 n N1 时, 假设 从而 矛盾. 因此收敛数列的极限必唯一. 则当 n N 时, 故假设不真 ! 满足的不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是发散的. 证: 用反证法. 假设数列 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取 则存在 N , 但因 交替取值 1 与－1 , 内, 而此二数不可能同时落在 长度为 1 的开区间 使当 n N 时 , 有 因此该数列发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 设 取 则 当 时, 从而有 取 则有 由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 虽有界但不收敛 . 有 数列 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 且 时, 有 证: 对 a 0 , 取 推论: 若数列从某项起 (用反证法证明) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设在数列 中任意抽取无限多项并保持这些项 在原数列 中的先后次序，这样得到的一个数列 称为原数列的子数列（或子列）。 设在数列 中，第一次抽取 第二次在 后抽取 这样无休止的抽取下去，得到一个子数列 显然 ********************* 证: 设数列 是数列 的任一子数列 . 若 则 当 时, 有 现取正整数 K=N , 于是当 时, 有 从而有 由此证明 ********************* 机动 目录 上页 下页 返回 结束 我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的《重 差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评 注, 指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 . 他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 “ 割之弥细 , 所失弥小, 割之又割 , 以至于不可割 , 则与圆合体而无所失矣 ” 它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要 极限思想 . ? 的方法 : 法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》, 《无穷小分析概论》, 《微积 分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 . 对数学的影 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 运行时点击 “刘徽割圆术” , 或刘徽按钮 , 可放映刘