2015年全国高中数学联赛福建预赛试题 含答案.docVIP

2015年福建省高中数学竞赛 暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案 （考试时间：2015年5月24日上午9：00－11：30，满分160分） 一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．设集合，从集合中随机抽取一个元素，记，则随机变量的数学期望 。 【答案】 5 【解答】，随机变量的取值为0，1，4，9，16。 易得，的概率分布列为 0 1 4 9 16 ∴ 。 2．已知，其中是定义在上，最小正周期为2的函数。若在区间上的最大值为1，则在区间上的最大值为 。 【答案】 9 【解答】依题意，有。 ∵ 在区间上的最大值为1， ∴ 在区间上的最大值为3，在区间上的最大值为5，在区间上的最大值为7，在区间上的最大值为9。 3．、为椭圆：（）的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围为 。 【答案】 【解答】设为椭圆的上顶点，依题意有。 ∴ ，。，，。 4．已知实数，，满足，则的最小值为 。 【答案】 【解答】由柯西不等式，知 。 ∴ ，当且仅当，即时等号成立。 ∴ 的最小值为。 5．已知函数，数列中，（），则数列的前100项之和 。 【答案】 【解答】依题意，有 。 ∴ 。 6．如图，在四面体中，，，，且与平面所成角的余弦值为。则该四面体外接球半径 。 【答案】 【解答】如图，作于，连结，并延长交于点，连结。则是与平面所成的角，。 ∵ ，，， ∴ ，为的外心，且。 ∴ ，为中点，结合知，，。 ∴ ，。 ∴ 、、两两互相垂直，四面体外接球半径。 7．在复平面内，复数、、的对应点分别为、、。若，，，则的取值范围是 。 【答案】 【解答】设，（为虚数单位）， ∵ ，， ∴ ，， 。 设复数对应的点为。由知，点在以为圆心，1为半径的圆上。 又，因此，，即的取值范围是。 8．已知函数恰有两个极值点，（），则的取值范围为 。 【答案】 【解答】。 依题意，有两个不同的实根。 设，则，有两个不同的实根。 若，则，为增函数，至多1个实根，不符合要求。 若，则当时，；时，。 ∴ 在区间上为增函数，上为减函数。 ∴ 的最大值为。 又时，；时，。 ∴ 当且仅当，即时，恰有2个不同的实根。 设的两根为，（）。则时，，；时，，；时，，。 ∴ 为的极小值点，为的极大值点。符合要求。 ∴ 的取值范围为。 9．已知，若，则的取值范围为 。 【答案】 【解答】设，则。 ∴ 。 ∴ ，。 由知，方程的解集是方程的解集的子集。 若，则，。 若，设，则，得。 又时，， 所以，。的取值范围是。 10．若，则正整数的最小值为 。 【答案】 4 【解答】由，，知 。 ∴ ， ， …………… 上述各式左右两边分别相加，得 。 ∴ ，。 ∴ ，（），（）。 ∴ 正整数的最小值为4。 二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程） 11．求函数的最小值。 【解答一】由，得或。 ∴ 函数的定义域为。 ……………………… 5分 记，则 当时，易知。在上为增函数。 ∴ 时，的最小值为。 ………………………… 10分 当时，。 ∴ 在上为减函数，时，的最小值为。 ……… 15分 综合得，函数的最小值为1。 ……………… 20分 【解答二】函数化为。 由，知，可设（，且） ………………………… 5分 当时，，当，即时，取最小值3。 ……………………… 10分 当时，，当，即时，取最小值1。 ………………………… 15分 综合得，函数的最小值为1。 …………………… 20分 或换元后利用导数求解。 【解答三】由，得， ∴ ，。 …………………… 5分 依题意，有，因此，。 ………………… 10分 ∴ ，，解得或。 …………… 15分 将代入方程，解得。 ∴ 在函数的值域内。 ∴ 函数的最小值为1。 ………………………… 20分