谈建构数学.docVIP

談建構數學 台大數學系 翁秉仁 從日前教育部的正式聲明，建構數學在台灣似乎已經走入歷史了，現在再為文討論建構數學，似乎為時已晚，但其實不然。一方面，成為台灣建構教材代罪羔羊的建構教學法，仍然有其教學價值，本身值得再討論。但另一方面更嚴重的是，台灣建構教材中許多有負面影響的數學想法，卻仍然借屍還魂，在九年一貫的能力指標中，繼續發揮其影響力。因此，檢討台灣建構數學，就是檢討九年一貫的根。至於，九年一貫的其他問題，我們將在下篇文章中再討論。 談建構數學至少要區分三個面向：作為知識論一支的建構論（constructivism）；與建構論相關但不是直接蘊涵的建構教學法（以及其中最具有代表性的數學教學）；建構教學的教科書（本文所討論的就是台灣的建構數學教材）。我們首先敘述建構數學在美國發展的歷史，並接著探討建構教學法的基本問題。其次則討論台灣建構教材的內外問題與影響。至於作為整個建構教學底層的建構論哲學，我們將另文討論。 美國建構數學的歷史簡述 美國的數學教育，左左右右曾經經過多次改革，爭執的重點一直擺在「學生如何學得真正的數學」。最有名的一次，是五、六十年代的「新數學」運動（New Math），他們曾經轟轟烈烈編寫的SMSG教科書，甚至都影響到台灣，但是卻旋即無疾而終。在七、八十年代間，美國數學界流行強調背誦與反覆練習的「回歸基本」（Back to Basics）潮流，但是美國學童的表現卻遲遲沒有起色，在世界上的排名始終不高。加上這段時間，發展心理學、認知心理學的成熟，不斷影響教育理論與應用，於是在結合了眾多有志之士的努力下，1989年由NCTM（美國數學教師協會）編寫出《中小學數學課程與評量標準》，舉起數學教育改革的大纛，希望藉由提高學童的數學能力，讓美國社會能迎向廿一世紀的未來世界。 當時為了促銷這一套想法，NCTM主席Tom Romberg以「建構論」為整個運動畫龍點睛，統串所有參與人員的基本想法，並以此遊說美國政府支持這項初等教育的改革運動，由於行銷手法一流，願景高遠，馬上引起數學教師、社會輿論與各州教育部門的重視，並且帶動其他領域的教學改革浪潮。1994年，由美國教育部通過，正式成為數學教學的國家標準。由此可知，在美國所謂建構數學，是作為救亡圖存的改革而出現的，並以此贏得各界對這個議題的關注。 通常作為建構數學對立面的傳統教學法，指的是一種注重背誦練習的數學教學方式，有著高壓式、填鴨式、反應式的缺點，以教師的絕對權威，逼迫學生吸收大量的概念、公式、算法、解題技巧，學生只能被動地背誦所習。因此學生根本沒有建立數學能力，充其量只是一部符號運算的機器。其缺點就是讓學生喪失數學興趣，無法應用數學知識，數學變成一門大家談之色變的課程，尤其後段的學生趕不上進度，苦不堪言。 而在皮亞傑觀念的影響下，美國的發展與認知心理學開始發展，慢慢取代傳統的行為主義學習模式，影響美國的課堂教學。教師開始注重問題解決（problem solving）、解答途徑的多元性、「以學生為師」、從學生的錯誤中引導學生等等觀念。而認為「知識是由主體建構」的建構論與建構教學法，更強烈地與傳統教學法決裂，強調知識是由學童主動創造發明的，不能由環境中被動吸收；由學生主動地在他既有的知識架構中整合知識；學習是一個社會化過程，學童應該分享獲得的知識。另外他們也重視新科技電腦的應用。因此所謂建構數學，就是希望學生能在課堂中自我建構數學知識，由學生的自我發展，真正將數學知識納為己用，不管是前段或後段學生都能以自己的節奏學習。他們經常質疑傳統教法，只是一種菁英教育，為了少數人，放棄大部分的學生，而建構數學的目的，則是讓所有學童都能正面地、愉悅地掌握數學能力，以應付日新月異的未來。 因此，整個建構數學的改革目標真是格局遠大，在1989年版的《中小學數學課程與評量標準》中，這樣描述數學教育的目標 …針對所有學生的五大目標是（1）學習重視數學（2）有自信做數學（3）能解決數學問題（4）學習以數學溝通（5）學習以數學推理。這些目標將讓學生置身於許多充滿各種內在關連的經驗中，鼓勵他們重視數學的宏業，發展內心的數學習慣，了解並欣賞數學在人類事物中的角色；鼓勵他們去探索、猜測、甚至犯錯，從克服錯誤裡建立他們解決複雜問題的信心；能夠閱讀、書寫與討論數學；能夠提出假設、測試它，並且建立假設正確的論證。 這顯示了美國建構數學的目標，是期望每一個學童都能成為小小數學家。 但是由於過分重視數學的高層次功能，美國建構忽略了一些數學基本能力的練習，學童雖然提高數學的上課興趣，但是學童的數學表現並沒有提升，1995年開始，美國專業數學家與其他人士漸漸意識到問題的嚴重性，憂心整個數學教育的未來，開始介入數學教育的課程訂定，例如在1997年起，就造成加州兩種數學觀點的「