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案例——函数模型的应用实例（必修1） 一、教学内容分析 函数基本模型的应用是本章的重点内容之一。本节课用2个例题作示范，并配备了较多的实际问题让学生进行练习，在例题或练习中分别介绍了分段函数、二次函数、指数函数的应用。教学中渗透函数拟合的基本思想。 二、教学目标 1、能通过阅读理解函数题目中文字叙述与函数图像所反映的实际背景，弄清题中出现的量及其数学含义，将实际问题转化为数学问题并利用函数的相关性质解决问题学生阅读能力、识图文字语言转化为数学语言的能力及数学建模能力，用数学模型解决实际问题路程与时间的关系，学生比较熟悉（2）如何用函数表示路程与时间的关系？分段函数的分段函数是学习的一个难点。 （2）根据图形可得： 50t＋2004 0≤t＜1 80（t－1）＋2054 1≤t＜2 S＝ 90（t－2）＋2134 2≤t＜3 75（t－3）＋2224 3≤t＜4 65（t－4）＋2299 4≤t≤5 这个函数的图像如下图所示： 归纳：通过例1的学习，我们可获得以下几点收获——①会识图；学会理解题意；确实提高分析及解决问题能力。体现思想方法（100－x）2 （10≤x≤90） 例2、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y＝yoe r t ， 其中t表示经过的时间，yo表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率。下面的表是1950~1959年我国的人口数据资料： 年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 （1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.000 1），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； （2）如果按上表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？ 分析：阅读题目，就是用已知的函数模型进行计算，并检验与实际是否相符。 解：（1）设1951~1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9。由 55196（1＋r1）＝56300， 可得1951年的人口增长率r1≈0.0200。 同理可得， r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276， r8≈0.0222，r9≈0.0184。 于是，1951~1959年期间，我国人口的年均增长率为 r＝（r1＋r2＋…＋r9）÷9≈0.0221。 令yo＝55196，则我国在1951~1959年期间的人口增长模型为 y＝55196e0.0221t，tN。 根据表中数据作出散点图，并作出函数y＝55196e0.0221t（tN）的图象。 由图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合。 （2）将y＝130000代入y＝55196e0.0221t，由计算器可得 t≈38.76 所以，如果按表中的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿。由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力。 注意：用已知的函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往需要对模型进行修正。 变式练习： 已知1650年世界人口为５亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%。 （1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍? （2）实际