第八章级数与拉普拉斯变换.ppt

§9-1 常数项级数 主要内容： 级数的基本概念。 级数的收敛与发散。 级数的基本性质。 * 一、级数的概念 举例： 例1 圆面积问题。 在半径为R的圆内作内接正六边形，其面积记为U1， 它是圆面积的一个近似值。 再以这正六边形的每一边为底边，在弓形内作顶点在圆上的等腰三角形， 得圆内接正十二边形， 如下图所示， R 设这六个等腰三角形的面积之和为U2， 则圆内接正十二边形的面积为U1+U2， 它也是圆面积的一个近似值， 其精确度比前面的好。 同样地， 作十二个等腰三角形，得圆内接二十四边形。 设这十二个等腰三角形的面积之和为U3， 则圆内接正二十四边形的面积为U1+U2+U3， 它也是圆面积的一个近似值， 其精确度比前面两个都要好。 如此继续进行n次， 这个圆的面积近似地等于圆内接正3×2n边形的面积 U1 + U2 + …… + Un。 n越大，则精确度越好， 当n→∞时，和U1+U2+……+Un的极限就是这个圆的面积， 也就是说，圆面积A是无穷多个数累加的和， A = U1 + U2 + ···+ Un + ··· 即 把前面的具体问题抽象出来，就得到无穷级数的定义。 设给定序列{ Un }:U1, U2, U3, ···,Un, ··· 则数学式子 U1 + U2 + U3 + ··· + Un + ··· 称为无穷级数， 简称 级数， 记作 , 即 Un为函数的级数称为函数项级数。 Un为常数的级数称为常数项级数或数项级数； 其中第n项Un称为级数的一般项或通项。 定义1 例如： 都是数项级数， 又如： 都是函数项级数。 分别取级数的1项，2项，···，n项，作和： 二、级数的收敛与发散 上面所给的级数定义，纯粹是形式上的定义，它只指明级数是无穷多项累加。 但是，无穷多项怎么加？是否有“和”？ 例2 讨论级 数 仿例1， ···， 当n→∞时，有 它反映了无穷级数 的无穷多项累加的结果,我们把极限值 称为级数 的“和”。 这样，就可以把无穷多项求和的问题归结为求相应的部分和数列的极限问题。 一般的， 对级数(8-1),分别取它的1项,2项,…,n项,…的和， 作出数列{ Sn}： S1=U1 , S2=U1+U2 , ·········, Sn=U1+U2+……+Un , 这个数列的通项为 S n=U1+U2+……+Un ········· 而数列{ S n }称为级数(8-1)的部分和数列。 S n称为级数(8-1)的前n项的部分和。 记作 定义2 设 ， 如果数列{ Sn }收敛， 且 ， 则称为级数 收敛， 极限值S就称为级数 的和， 发散级数没有和。 此时，称rn = S - Sn为级数 第n项以后的余项， 如果数列{ Sn }发散， 即当n→∞时，Sn没有极限， 则称级数 发散。 例3 讨论级数 a + aq + aq2 + ··· + aqn-1 + ··· (a≠0)的敛散性，如果收敛，则求它的和。 解： 此级数是一公比为q的等比级数(或几何级数)， (1)当|q|1时， 由于 ， 从而 ， 即级数收敛， 其和 即级数发散。 (2)当|q|1时， 由于 不存在， 从而 也不存在， 设q=-1,级数成为a-a+a-a+ ···, (3)当|q|=1时， 设q=1, Sn=na, 当n→∞时，级数发散； 显然 从而Sn的极限不存在，级数也发散。 归纳起来： 当|q|1时，等比级数 收敛， 其和为 ， 当|q|≥ 1时,等比级数 发散。 例4 判断级数 是否收敛？如果收敛，则求它的和。 解： 由于级数的一般项Un可写成 因此 所以级数 收敛，其和为1。 解： 解： 先证明一个不等式： 由此可知f (x)为增函数， 又因f (x)≥f (0), 所以不等式得证。 =ln(n+1) *