直直线过定点问题的探究.doc

《直线过定点问题的探究》教学设计 【教学方式】启发探究式【教学手段】自制课件、 二、 步步探究，层层递进 师：同学们觉得圆锥曲线中哪一种较为简单？ 生：抛物线. 师：那么我们就让直角三角形内接于抛物线，来看看斜边是否过定点.先用几何画板进行形的探索，再进行数的计算. 探究1　若一个动直角三角形的直角顶点在抛物线y=x2的顶点上，另两顶点在此抛物线上，它的斜边有什么特征？ [设计意图：降低起点，用最特殊的抛物线来验证，直角顶点也在特殊位置，符合最近发展区理念，更容易让学生体会探索成功的喜悦，激发学习动力.] 师：既然直角顶点在圆上任一位置，斜边都过定点，那么在抛物线上任一位置呢？ 生：应该也过定点吧！？ 师：眼见为实（展示几何画板），请大家证明给我看看. 探究2　若把直角顶点放在其它任意位置，动直角三角形的斜边还会经过一个定点吗？ [设计意图：通过几何画板演示，给予学生直观感受；而证明的过程是层层递进，从特殊到一般，激发学生探索精神，学生在追求数学真善美的过程中提升能力，感受数学魅力.] 师：大家觉得我们这个结论是不是最一般的情况啊？ 生：感觉抛物线不是一般情况. 师：是的，现在直角顶点在一般位置了，抛物线改为一般形式，也有此性质： 内接于抛物线中定顶点的动直角三角形的斜边过定点. 很好，以上两个问题的解法用的是直接设A、B、P的坐标分别为A(x1,x),B(x2,x)，，若不用这种方法你还能用其它方法吗？刚才我看到了不同的做法，请和大家分享. 生1：设A(x1,x),B(x2,x)，由探究二中解法知直线AB的方程为.同理，直线PA的方程为，直线PB的方程为. ，∴，即，代入直线AB的方程中得y=(x1+x2)(x+a)+1+a2.此时斜边AB过定点. 生2：设直线AB的方程为y=kx+b，方程联立，韦达定理来求解. 师：这里首先考虑的是选择合理的参数设法，字母尽量少，可以设点坐标（抛物线中可以用一个字母），如法一，可以设直线方程，如法三。然后是通过已知条件转化、消元，法一中消去，留下，法三中消去m,留下k。目的是为了能够判断出直线过定点。 [设计意图：生1的解法可以是教师讲解，视学生操练情况而定.这里解题方法的小结有两个目的，一是就解这类题来说，可以有多种解法，让学生对抛物线问题的求解有一个全面认识；二是为下面椭圆的解法作铺垫.] 师：在全面解决了抛物线问题之后，我们还能做些什么？或者说应该做些什么呢？ 生：其它圆锥曲线应该也有此类性质，如椭圆. 探究4　若一个动直角三角形的直角顶点在椭圆的右顶点上，另两个顶点在此椭圆上，它的斜边也会过定点吗？ [设计意图：数学充满奥妙，师生共同展开探索的翅膀去发现、去证明，让知识的脉络更加清晰，更加完备，这样的课堂才是精彩的！] 三、持续探索，意犹未尽 探究5　若一个动直角三角形的直角顶点在椭圆的上顶点上，另两个顶点在此椭圆上，它的斜边也会过定点吗？ 探究6　若一个动直角三角形的直角顶点在椭圆上的任一固定位置，另两个顶点在此椭圆上，它的斜边也会过定点吗？ 探究7　内接于椭圆中定顶点的动直角三角形的斜边过定点，成立吗？ 师：以上探究5，6，7三个问题作为本节课的作业，请同学们自己完成.有兴趣的同学还可以进一步去探究双曲线中的类似问题.