电磁场与电磁波第一二章学案.ppt

总 结 ⑴ 先找出或设法找出具有两个零电位面的平行坐 标面，确定三角函数的分离函数形式，并计算 出分离常数； 计算出余下的分离常数， 并确定双曲函数或指数函数的分离函数形式； ⑶ 利用边界条件确定积分常数 ⑵ 由 一接地无限长矩形金属管如图所示，有一线电荷密度为? 的直线位于管内（x0，y0）处，且与 z 轴平行。 解: 在管内作x = x0 处的横截面，设此横截面两侧的电位函数分别为?1和?2，根据边界条件，电位的通解必须具有如下的形式 例 2-8-3 当 x = x0 时，边界条件： 对以上两个方程同乘以 ，并对y从0→b积分，得 解得 管内电位 习题 2.27 2.29 2.30 习题 2.13 2.16 2.18 2.6 泊松方程 拉普拉斯方程 一. 电位的微分方程 由静电场的基本方程 ??E = 0 ? E=-?? 电位的泊松方程 对? = 0的空间，及点、线、面电荷之外没有电荷的空间 电位的拉普拉斯方程 式中 ?2=??? 拉普拉斯微分算符 将求散度的?和求旋度的?作点乘，得 直角系 圆柱系 球系 解：（1）列、解电位的微分方程 直接积分，得 在 0 x d 区域，电位满足 例2-6-1 O d x 0 V 两无限大平板电极相距 d，电位分别为 0 和 V，板间 充满密度为 ?0x/d 的电荷，求板间 ?、E 及板上电荷密度?s。 x = 0， ? = c2 = 0 x = d， （2）利用边界条件定积分常数 O d x 0 V 极板上自由电荷密度： x = 0， n = ax x = d， n = -ax O d x 0 V 习题 2.19 2.21 2.7 静态场的边值问题 一. 格林定理 格林第一恒等式 格林第二恒等式（格林定理） 令 若? =?，则格林第一恒等式变为 定理内容：满足给定边界条件的泊松方程、拉普拉斯 方程的解，除任一常数外是唯一的。 在整个边界上的电位函数已知即 ??s= ?s (r) Dirichlet边界条件: Neumann边界条件 混合边界条件 在整个边界上的电位函数的导数已知即 在整个边界上一部分电位函数已知即 ??s1= ?s1(r) 另一部分边界的法向导数已知 二. 唯一性定理 三. 静态场的边值问题 【例2-7-1】半径为 a 的孤立导体球一半埋入介电常数为 ? 的无限大介质中，另一半在空气中，设导体球电位为 V，求介质和空气中的电位、电场强度和该导体球的电容。 ?0 ? O R 解 , 满足边界条件 边值问题 已知场域边界上各点电位的法向导数 已知场域边界 上各点电位值 微分方程 边界条件 一、二类边界条件的线性组合，即 场域 边界条件 自然 边界条件 分界面 衔接条件 第二类 边界条件 第一类 边界条件 第三类 边界条件 参考点电位 及 有限值电位 边值问题 研究方法 解析法 数值法 实测法 模拟法 定性 定量 计算法 实验法 作图法 有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 模拟电荷法 积分法 分离变量法 镜像法、电轴法 微分方程法 保角变换法 2.8 分离变量法 一. 直角坐标分离变量法 分离变量法适用的条件 ⒈ 所给边界面与一个适当的坐标系的坐标面 相合或至少部分地与坐标面相合。 ⒉ 在此坐标系中，所求偏微分方程的解可表示为三个函数的乘积，每一函数只含有一个坐标变量。 ? 拉普拉斯方程的分离变量解： 设 一般解： —— 分离常数 ⒈ kx = ? ?R? （kx2＞0）时 ⒉ kx =? j?R?=j?x （kx2＜0）时 ⒊ kx = 0 时 或 x y 0 sinx cosx x y 0 x y 0 周期性 奇偶性 单调性 奇偶性 线性 Y(x) 和 Z(z) 解的情况的讨论与 X(x) 类似。 最后 式中的积分常数和分离常数由边界条件确定 第一类边界条件问题举例 x a y z b c O ? = V 解： ⑴ 已知 z = c 面上? = V，其余边 界面? = 0。求长方形体积内的电位。 例2-8-1 ⑵ 只能取 —— 微分方程的本征值 —— 本征函数 由叠加定理 类似地 取 ⑶ 式中 ⑷ ? = ?0的等位面 ? = 0.1?0的等位面 如图无限长金属槽，两平行侧壁相距为a，高度