第42课相似三角形的应用辩析.ppt

完成考点跟踪训练 42 题型三　相似三角形与其他知识的综合应用 题型分类·深度剖析 知识点索引 【例 3】　(2014绍兴)如图，在平面直角坐标系中，直线l 平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连接 OB，动点P满足∠APQ＝90°，PQ交x轴于点C. 题型三　相似三角形与其他知识的综合应用 题型分类·深度剖析 知识点索引 (1)当动点P与点B重合时，若点B的坐标是(2，1)，求PA的长； (2)当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的 横坐标相等，求PA∶PC的值； (3)当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点 E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE＝ ∠AEC，PD＝2OD，求PA∶PC的值． 题型三　相似三角形与其他知识的综合应用 题型分类·深度剖析 知识点索引 解 (1)∵点P与点B重合，点B的坐标是(2，1)， ∴点P的坐标是(2，1)，∴PA的长为2. (2)过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴， 垂足为N，如图1所示． ∵点A的纵坐标与点B的横坐标相等， ∴OA＝AB， ∵∠OAB＝90°， ∴∠AOB＝∠ABO＝45°， ∵∠AOC＝90°，∴∠POC＝45°， 题型三　相似三角形与其他知识的综合应用 题型分类·深度剖析 知识点索引 ∵PM⊥x轴，PN⊥y轴， ∴PM＝PN，∠ANP＝∠CMP＝90°， ∴∠NPM＝90°， ∵∠APC＝90°，∴∠APN＝90°－∠APM＝∠CPM. 在△ANP和△CMP中， ∵∠APN＝∠CPM，PN＝PM，∠ANP＝∠CMP， ∴△ANP≌△CMP(ASA)， 题型三　相似三角形与其他知识的综合应用 题型分类·深度剖析 知识点索引 (3)①若点P在线段OB的延长线上，过点P作PM⊥x轴，垂 足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，PM与直线AC的交点 为F，如图2所示． ∵∠APN＝∠CPM，∠ANP＝∠CMP， ∵∠ACE＝∠AEC，∴AC＝AE， ∵AP⊥PC，∴EP＝CP， 题型三　相似三角形与其他知识的综合应用 题型分类·深度剖析 知识点索引 ∵∠APC＝90°，AF＝CF，∴AC＝2PF＝4x， ∵∠PNO＝∠NOM＝∠OMP＝90°，∴四边形PMON是矩形， 题型三　相似三角形与其他知识的综合应用 题型分类·深度剖析 知识点索引 ②若点P在线段OB的反向延长线上，过点P作PM⊥x轴， 垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，PM与直线AC的交 点为F，连接PA，如图3所示． 题型三　相似三角形与其他知识的综合应用 题型分类·深度剖析 知识点索引 探究提高　本题考查了角平分线的性质、全等三角形的 判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与 性质、等腰三角形的判定与性质、平行线等分线段定理、 勾股定理等知识，综合性非常强． 题型三　相似三角形与其他知识的综合应用 题型分类·深度剖析 知识点索引 变式训练3　(2014广东)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥ BC于点D，BC＝10cm，AD＝8cm.点P从点B出发，在线段 BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直 于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向 匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点 C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒(t＞ 0)． 题型三　相似三角形与其他知识的综合应用 题型分类·深度剖析 知识点索引 (1)当t＝2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形； (2)在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大 值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长； (3)是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在， 请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由． 题型三　相似三角形与其他知识的综合应用 题型分类·深度剖析 知识点索引 解 (1)证明：∵当t＝2时，DH＝AH＝2， ∴H为AD的中点，如答图1所示． ∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线， ∴AE＝DE，AF＝DF， ∵AB＝AC，∴AD⊥BC， ∴∠B＝∠C，∴EF∥BC， ∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C， ∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF， ∴AE＝AF＝DE＝DF， 即四边形AEDF为菱形． 题型三　相似三角形与其他知识的综合应用 题型分类·深度剖析 知识点索引 ∴当t＝2秒时，S△PEF存在最大值， 最大值为10，此时BP＝3t＝6. 题型三　相似三角形与其他知识的综合应用 题型分类·深度剖析 知识点索引 (3)存在．理由如下： ①若点E为直角顶点，如答图3－1所示，此时P