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二次函数图象及性质应用举例 　　耀华中学 高宏柏 　　喷出的水流、推出的铅球、标枪的投掷、彗星的运动轨迹都形成抛物线路径，y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线，它有以下丰富的性质： 　　1.a、b、c的符号决定抛物线的大致位置。 　　a的值既确定抛物线开口方向，又确定抛物线的形状大小。抛物线y=ax2与抛物线y=ax2+bx+c形态、开口大小相同，只是位置发生了改变，通过平移而相互转化；抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）。 　　2.抛物线具有对称性，其对称轴为x=-■，顶点坐标为（-■，■）。当a0时，开口向上，抛物线的顶点是最低点，函数有最小值；当a0时，开口向下，抛物线的顶点是最高点，函数有最大值。 　　对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应积极捕捉、创造对称关系，以便从整体上把握问题，由抛物线捕捉对称的方式有： 　　（1）从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息。 　　例1.抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-2，7）、B（6，7）、C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点D的坐标是______。 　　分析：若先求解析式，再求出该抛物线上纵坐标为-8的另一点D的坐标则计算量大且易错；由于A与B、C与D是关于对称轴的对称点，所以不妨从抛物线的对称性入手。 　　解：由A（-2，7）、B（6，7）知点A与B关于对称轴对称 　　∴对称轴x=■=2 　　又yC=yD=-8 　　∴2-xD=3-2 　　∴xD=1，即D（1，-8） 　　反思：若A（x1，y1）与B（x2，y2）关于对称轴x=h对称，且x1X2， p 　　则y1=y2h-x1=x2-h →y1=y2h=■ 　　此题比较简单，请再看下面一道例题： 　　例2.若A（-■，y1）、B（-1，y2）、C（■，y3）为二次函数y=-x2-4x+5图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ） 　　A.y1Y2y2y1 　　C.y3Y1y1y3 　　分析：若选取代数法，代入求出y1、y2、y3比较它们的大小，则计算量比较大，也容易出错；利用对称性解此题可能会更好些，更能体现数与形之间的结合。 　　解：由y=-x2-4x+5知对称轴x=-2，顶点坐标（-2，9）与y轴交于（0，5），与x轴交于（-5，0）和（1，0），画出草图如下：设点A（-■，y1）关于x=-2的对称点A（x0，y1） 　　→-2=■ → x0=-■ 　　→ A(-■,y1) 　　在对称轴右侧，此二次函数图象的性质是y随x的增大而减小 　　又-1-■■ 　　∴y2y1y3 故选C 　　显然利用图象辅助直观、易懂，由于A与B、C两点不在对称轴同侧，所以利用对称性做出A的对称点A，然后利用二次函数的增减性解题。在11月10日《例说二次函数图象与系数的关系》专题中，思考题也可利用对称性解答。 　　例3.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当x取x1、x2（x1≠x2）时，函数值都相等，当x取x1+x2时，函数值为_______。 　　分析：由于当x取x1、x2（x1≠x2）时，函数值都相等设为y1，则（x1，y1）与（x2，y1）关于对称轴x=-■对称，故-■=■，x1+x2=-■，当x=x1+x2=-■时，y=a（-■）2+b（-■）+c=c。 　　由此题我们得到一点启示，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当x取x1、x2（x1≠x2）时，函数值y1=y2，当x3=x1+x2与x4=0的函数值y3=y4=c。 　　练一练下面这道题：已知二次函数y=2x2+9x+34，当自变量x取两个不同的值x1、x2时，函数值相等，则当自变x取x1+x2时的函数值与（ ）的函数值相等。 　　A.x=1时 B.x=0时 　　C.x=■时 D.x=-■时 　　上面几道题均是从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息，利用二次函数的对称性解题。 　　（2）从抛物线的对称轴方程与抛物线被x轴所截的弦长获得对称信息。请看下面一道例题： 　　例4.已知二次函数图象的对称轴是直线x=4，与x轴的两个交点的横坐标都是整数，与y轴交点的纵坐标也是整数，但此抛物线的三个交点围成三角形的面积为3，则此二次函数的解析式为 __________（写出一个即可） 　　分析：如图，对称轴为x=4 　　x左=xA=4-■ 　　x右=xB=4+■ 　　又S△ABC=■AB·OC=3 　　→AB·OC=6→AB=■……① 　　又此二次函数的图象与y轴交于C且yC是整数，OC=1，2，3，4，……② 　　但xA、xB均为整数，且A与B关于x=4对称→AB=|xA-xB|=2，4，6，8……③ 　　由①②③知： 　　OC=1AB=6，OC=3AB=2均符合题意 　　一当