导数和微分.ppt

4.2 求导法则 一、和、差、积、商的求导法则 二、例题分析 三、小结 一、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 再例如, 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求? 二、微分的定义 定义 (微分的实质) 例13 设曲线Γ由极坐标方程r=r(θ)所确定，试求该 曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线 上点 处的切线的直角坐标方程 解 由极坐标和直角坐标的变换关系知 切线斜率为 故切线的直角坐标方程为 例14 解 四、相关变化率 相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 例15 解 4000m 水面上升之速率 五、小结 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链 式求导法求解. 思考题 思考题解答 不对． 4.4高阶导数 一、高阶导数的定义 问题:变速直线运动的加速度. 定义 记作 二阶导数的导数称为三阶导数, 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 二、 高阶导数求法举例 1.直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 例1 解 例2 解 例3 解 例5 解 同理可得 注意: 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)——逐阶求导，寻求规律，写出通式 例4 解 例6 解 2. 高阶导数的运算法则: 莱布尼兹公式 例7 解 例8 解 由Lebniz公式，两边求 n 阶导数，有 注意到 注 这一解法的特点：找到了 的连续三阶导数之间的关系，利用 得到两相隔导数之间的关系，解决问题 3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则 运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式 例9 解 例10 解 例11 试从 导出 ① ② 解 ① ② 注 ①关于抽象函数求导数，必须注意并分清是对哪 一个变量来求导数，尤其是求高阶导数。 ② 都是对 x 求导 ③ 三、小结 高阶导数的定义及物理意义; 高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式); n阶导数的求法; 1.直接法; 2.间接法. 思考题 设 连续，且 ， 求 . 思考题解答 可导 不一定存在 故用定义求 4.5 函数的微分 前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是 微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概念——微分。 推论 例1 解 例2 解 例3 解 同理可得 例4 解 同理可得 例5 解 同理可得 例6 解 注意: 分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求. 思考题 求曲线 上与 轴平行的切线方程. 思考题解答 令 切点为 所求切线方程为 和 4.3 隐函数与参量函数微分法 一、隐函数的导数 定义: 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 两边对 x 求导，当遇到 y 的函数 f(y)时 将求出的这些导数代入 得到关于 的代数方程， 至于隐函数求二阶导数，与上同理 例1 解 解得 例2 解 所求切线方程为 显然通过原点. 例3 解 补证反函数的求导法则 由隐函数的微分法则 例4 解 例5 求证抛物线 上任一点的切线 在两坐标轴上的截距之和等于a 证 故曲线上任一点 处切线的斜率为 切线方程为 故在两坐标轴上的截距之和为 二、对数求导法 有时会遇到这样的情形，即虽然给出的是显函数 但直接求导有困难或很麻烦 观察函数 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.——目的是利用对数的性质简化求导运算。 --------对数求导法 适用范围: 例6 解 等式两边取对数得 例7 解 这函数的定义域 两边取对数得 两边对 x 求导得 两边取对数得 两边对 x 求导得 同理 例8 解 两边取对数得 两边对 x 求导得 例9 解 两边取对数得 两边对 x 求导得 例10 解 等式两边取对数得 一般地 三、由参数方程