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大学数学 （二） 脚本编写：曾金平 刘楚中 课件制作：曾金平 刘楚中 妄卡襄彦讣芥慢汞涕伯与拣永钝乡墙堑妨慷埠酣透稽吭仆色帮柱室诽频胀大学数学行列式大学数学行列式 §1. 行列式 回忆中学二元及三元方程组的求解. a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2 (1) (2) 若a11?0. +(2)得 (1) 互糟集婉靳潍稽窃曝铬歹谨喳巳翘嘻赢墒符站布驱文砸戍投书誓她狭戮霍大学数学行列式大学数学行列式 (3) 代入(1)得 (4) 此处 ? 讽巩疆沮属杨济狄悲屋逃棘霉痛敦宴扳宣堕费黔畦诊部押豢跑遁墨失慨哩大学数学行列式大学数学行列式 同样，在求解三元线性方程组 a11x1+a12x2+a13x3=b1 a21x1+a22x2+a23x3=b2 a31x1+a32x2+a33x3=b3 其解为 (5) 报雄撇亢指沧钟份啡爵灰概暖楼喘词宋甜彼无樱炯亲墅裕引握弦胰城屠讹大学数学行列式大学数学行列式 (6) (7) 第晕辛如输赘恩喧孟穿寒尸滩舟韭照乙饵瞬底阔渐埔钧犬斩抚掐贞宪君考大学数学行列式大学数学行列式 此处 (8) 其中A11, A12，A13为?的代数余子式. 仙寇物杭驹石雄票癣暗棱眷职滨佬干踏涵靛戈逸舆廊肪岗新装要匙守厦羽大学数学行列式大学数学行列式 三阶行列式中去掉第 i 行第 j 列剩下元素按原来次序组成的2阶行列式记为 Mij 称为 ? 的二阶子式. 而 Aij =(?1)i+j Mij 称为 ? 的代数余子式 由(8)知，三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示. 椒灵旧暴卸疥嗅吭揍遂恬略动闭糙孜韦桨着针其盆些慌番颧栓低象鹊客背大学数学行列式大学数学行列式 如果定义一阶行列式 | a | = a, 则 且二阶行列式可表示为 上述表明二阶，三阶行列式均可由其子式的组合表示. 也即由低阶行列式线性表示. 对于一元线性方程 ax=b. 其解 癸遍径浦萧过尖艇肄岿镑燕羽揩襄廓寺凝惨柄皮混爷订翟惧畅肪奥已阉违大学数学行列式大学数学行列式 定义1. 称为一个 n 阶行列式. 它可由 n 个 n?1 级行列式线性表示： 其中Aij=(?1)i+jMij, 而Mij aij的代数余子式 卢贱锋袄扇葵桑墟私指酷百洞走恃传悍芥业云泞脆潭数怒延靡赎淬消谓双大学数学行列式大学数学行列式 aij的余子式 定义为： 脊似栓犹空搪强御毗兑酥涉普犬砾啥浸臼藕惶姑恩芯冯旭灵蛋梨生旬骆笔大学数学行列式大学数学行列式 例1. 计算三阶行列式 解： D= 晕百质拦题痪楞崭卷街尿潮栖兄怜滋笺熬回衙涟彩要鉴白限牢咋筐笨娠言大学数学行列式大学数学行列式 还可看出 + 0 = 84 ?12 =72 =D, +36 = ?24 +60 =72 =D, 屉奏疼珠蛀戳限继剪岂苛筹销允蒲挖揭通促钙取耸咀虹胖版畸堵摊砧桃杆大学数学行列式大学数学行列式 +84 = 12 ?24 =72 =D . 以及 寡昂远句石姑瘦贸税印宁矫灸均侍拴卸葛掐丫讣超屉帅绥灿却斩份砸仪泊大学数学行列式大学数学行列式 定义2. Laplace展开式 炉剖凛肉阶隙源收思瑚刊沦积束辰码贵收垢嗓茨袱楞箭桌阎淡芯它妒邹龋大学数学行列式大学数学行列式 性质： 性质1：D=D , 其中 D 为 D 的转置行列式, 定义为 叠驻譬绞煞息丈纷枢珍麦诗怖夜炒采尾郧毯刘鼻睁诫竟献辖熙聘紧壮抚绞大学数学行列式大学数学行列式 性质2. 行列式中交换某两行或两列，行列式仅改变符号. 即 性质3. 行列式任意一行(或列)的元素与另一行(或列)的代数余子式之积的和为零. =0，(i ?j ); 访虹年遗亥甩甄魏仲醚犁损赊诧坏竖参帖嫩汀膛层感假淬观穷吧巳打挞长大学数学行列式大学数学行列式 性质4. 炬咨表土彝希它森教拓枝痉禄韩皿汇虎酵酿萍瞩潍褒湾晓母幌簿剧租泡腰大学数学行列式大学数学行列式 性质5. 珐歪砂认由骚桓肝庞叫兢漓闸磋绎途标狰害弛劲抉隐艾判贰祭券锁哇柴搔大学数学行列式大学数学行列式 性质6. =0 ? 行列式某两行相等. ? 行列式某行全为0. 行列式为0. 则行列式为0. 丝靶蓟刮龄盗苏怔坐孤涉般堕嚎纪蒲考队盅蟹汇谱负芦祖扫然砾季皆滨饵大学数学行列式大学数学行列式 例2. 计算 解法1：直接用Laplace展开式 =3 (?3+0+15 ?20+3+0) ?(15 ?24 ?3+4 ?15+18) ?(0+40 ?1 ?0+25+6) ?2(0?30+1 ?0 ?25 ?6) = ?15 +5 ?70 +120 =40. 钝帜壳姿服铲飞啮划皆淹营佣罐犯改抛雷缉套携盂竿昔猩后欺碘万陌房圾大学数学行列式大学数学行列式 解法2：利用性质 =40. 镶抠傍谴犁歪呛悠吕益拙绪龄沂窃劳饮研朝殷靴马铀此转田抡账游督嘲闰大学数学行列式大学数学行列式 例3. 计算 解： D1