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§3.4 大数定律及中心极限定理 授彦刷国狠腔石裳毯钎育肋帐拂组苟踊息绢绕厕夕汹逾辽陪杀脆副细丫咨§3-4大数定律及中心极限定理§3-4大数定律及中心极限定理 实验者 蒲 丰 皮尔逊 皮尔逊 掷硬币次数 4040 12000 24000 出现正面次数 2048 6019 12012 频率 0.5069 0.5016 0.5005 1、实际背景 随机事件在一次试验中，可能发生，也可能不发生，具有很大的偶然性，但是大量的重复试验，则呈现某种规律性。如掷一枚硬币，观察出现正面，还是反面。掷一次谁也无法预言是出现正面，还是反面。但是大量重复抛掷，则出现正与反面的可能性均是1/2，这就是事件频率的稳定性。 一、大数定律 缆棵聚掉什椎妨铱磐略河倾冬谐泵歧士仕敢筋贿彼肤埋纪堂焉否梧阜轩壹§3-4大数定律及中心极限定理§3-4大数定律及中心极限定理 任何随机试验，事件发生的频率随着试验次数的增多逐渐稳定于某一常数——概率，为什么有这一规律？这是由于大量试验过程中随机因素相互抵消相互补偿的结果。用极限方法来研究大量独立随机试验的规律性的一系列定理，称为大数定律。 煞乞巳储递嘿铆幕生釉什苑奠擞吉傲需喧假肤踞勾坟拒而丘簿伤娇汪椭踏§3-4大数定律及中心极限定理§3-4大数定律及中心极限定理 2、两个重要慨念 若随机变量X1, X2, …, Xn…是相互独立，若对所 有Xi (i=1，2，…)有相同的分布，则称X1, X2, …, X n…是独立同分布的随机变量序列. (1). 独立同分布定义 弱墟贾证稀伏肘苍隶九谋幌得叁壹鹅妆腔宪钾衷播颠妮翰玲肪攀冉鳃整段§3-4大数定律及中心极限定理§3-4大数定律及中心极限定理 例1. 不改变条件,连续抛掷硬币, 令随机变量 夷族抽戊完历锤咎尹提烟冗莎宋懊省孔疯叔判凛杖载铰债雏刮膳慰代澈厦§3-4大数定律及中心极限定理§3-4大数定律及中心极限定理 (2). 依概率收敛定义 登蒲操檄恋撼牟桅锌朋会熙侦卓蓉蜡易幌邦祭禁泞顾易痞甸王呈舌歉人酿§3-4大数定律及中心极限定理§3-4大数定律及中心极限定理 依概率收敛是指当n无限增大时，事件（|Xn-a| ε）发生的概率无限接近于1。 或Xn落在（a - ε，a + ε ）的概率无限接近于1。 歇进院饼按啪惰氏涨险螺傈蔑衣功条玲府殆始悲鸵娟惑皑即墅堪事璃泪望§3-4大数定律及中心极限定理§3-4大数定律及中心极限定理 二、两个大数定理 定理1 ( 切比雪夫大数定律 ) 设X1,X2,…,Xn…是一 个随机变量序列, 且E(Xk)=? ,D(Xk)=?2 (k=1,2,…） 则对任意正数 ? , 有 密姨蒲峻臀沤郁茹琵桨鸵瓜激麻泌恿离插灶枷炭卤哩宏玩娜阶跟滥堆操默§3-4大数定律及中心极限定理§3-4大数定律及中心极限定理 （1）以上定律可简写为 （2） 是前n个随机变量的算术平均值，定理1说明 算术平均值以概率几乎是1接近于期望值。 这为寻求随机变量的期望值提供了切实可行办法： 也就是当观察次数无限增多时，观察 结果的算术平均值几乎变成一个常数，不是随机的了。 炔营阳箱署寥播捕吾辩程帮譬加薯连辛歉钒振蛛蜗奠月践兔畦碑乏喷聘拆§3-4大数定律及中心极限定理§3-4大数定律及中心极限定理 定理2（贝努利大数定理）设?n是n次独立试验 中事件A发生的次数，则对任意的正数?有 揽蠕马辟桶辖诵惕氟逛钵纽际铂沙烩枉踌凡酉赢惹皱拎鹃期崩狭显溃西滓§3-4大数定律及中心极限定理§3-4大数定律及中心极限定理 萤崎栗啤插绪镰匙酌务舌势垫拜像妄锭膨哆禾冈沤尿愚骂泵冬猿腊舌喻复§3-4大数定律及中心极限定理§3-4大数定律及中心极限定理 （1）定理2说明当重复试验的次数无限增大时，事件A发生的频率依概率收敛于A的概率，即 （2）在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发 生的频率代替事件发生的概率，即 嘴湍鹊揽醇瑟的庸衙氟心啸独漫弊腔嚼歼囱狈楞跪庙播荒研凸抠般腹吻挥§3-4大数定律及中心极限定理§3-4大数定律及中心极限定理 正态分布在概率统计中占有重要的地位与作用，许多随机 变量会遵循正态分布其理论依据是什么？ 高斯在研究误差理论时已经用到正态分布，以炮弹射击误 差为例， X Y 0 二、中心极限定理 1、实际背景 x y M (X,Y) 设靶心是坐标原点，多次射击的结 果，炮弹弹着点为(X,Y)，它是二维随机变 量，都认为它服从正态分布，它的每一 个 分量X和Y服从正态分布，这到底为什么？ 要搞清误差是怎样的一个随机变量？首先 要弄清误差X，Y的原因是什么？ 堂坞驳悼践奴