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专题讲座3 高中数学“平面向量”教学研究 梁丽平 人民大学附属中学 一、整体把握“平面向量”教学内容 （一）平面向量知识结构图 （二）重点难点分析 本专题内容包括：平面向量的概念、运算及应用． 课标要求： 平面向量（约12课时） （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。 （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 （4）平面向量的数量积 ①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 （5）向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。 依据课标要求，并结合前面的分析可知：新概念、新运算的定义，向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点，平面向量基本定理是坐标表示（几何代数化）的关键，也是本专题教学的难点。 二、“平面向量”教与学的策略 （一）在概念教学中，依据概念教学的方法，建构概念知识体系 本专题的教学中，向量、向量的运算等都是新定义的概念，如何让这些概念的出现自然轻松，还能让学生迅速把握住本质，达成理解？不妨遵循概念教学的方法。 比如说：“向量的概念”教学中，可从力、位移等实例引入，进行抽象概括，形成向量的概念。之后，提出“温度、功是不是向量？”这样的问题，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的两个要点：大小、方向进行拓展，按如下表格整理，将向量概念精致化。 ? 概念辨析： 本专题的内容中，学生的问题之一是：概念不清，符号表示混乱，针对此问题，一方面教师在板书、表达等方面一定要准确和多方强调，另一方面，也可设置一些判断题，帮助学生辨析概念． 例1．下列命题中，真命题的序号为：______． ①是A、B、C、D四点构成平行四边形的充要条件； ②－＝0； ③单位向量不一定都相等； ④若向量、满足||=||，则?= ±； ⑤的充要条件是，且； ⑥若，则或； ⑦若= 0，则或为零向量． （二）在平面向量运算的教学中，运用模型和类比，降低难度，深化理解 向量是新定义的数学概念，单纯看向量的运算，实际上是比较抽象的．在教学中若能恰当运用模型，运用类比，不仅可以降低难度，而且对于学生认识抽象的运算有很大的好处： 比如说：向量这个概念源于物理中的力、位移，那么力的合成、位移的合成实际上就是向量加法的模型，依此为基础很容易理解并记忆平行四边形法则和三角形法则。 而向量的减法则可类比于数的减法定义：在实数运算中，减法是加法的逆运算，于是向量的减法也可以看成是向量加法的逆运算；在实数运算中，减去一个数，等于加上这个数的相反数，据此，引出相反向量的概念。 再比如：实数运算中的乘法，实则是源于加法，向量运算中，我们也可以从向量加法出发，问学生：=？从而引出实数与向量的乘积。 教学内容 教学方法 备注 向量的加法 模型 力的合成 平行四边形法则 位移的合成 三角形法则 向量的减法 类比 减法是加法的逆运算 ? 减去一个数，等于加上这个数的相反数 相反向量 实数与向量的乘积 类比辨析拓展 数的乘法 平行向量 运算率 类比辨析 实数的运算率 交换律、结合律、 分配率…… 平面向量基本定理 模型 力的分解 ? 平面向量的数量积 模型 做功的概念 ? 在定义新的向量运算时，为了便于学生的理解和记忆，一方面要关注到运算定义的合理性，新定义的运算应该与我们日常的经验（向量的来源）不相悖——合情合理；另一方面，也要注意向量运算与实数运算的差异，抓住“结果是什么？”“遵循什么样的运算律？”等问题，在类比和辨析中学习新知识。逐渐渗透在集合上定义二元运算的准则．自然形成对于“逆运算”、“逆元”等概念的了解．最终拓展学生对于运算的认识． 作为一种检验，设计如下题目，考察学生对于抽象运算的理解： 例2．设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题： ①设是平面上的线性变换，，则； ②若是平面上的单位向量，