专题函数奇偶性和周期性【DOC精选】.docVIP

专题函数奇偶性和周期性 1 知识填空 奇偶性：一般的，对函数f(x),如果对于定义域内的每一个x，都有_______________，那么函数f（x）就叫做奇函数，图像关于_____对称；都有_______________，那么函数f（x）就叫做偶函数，图像关于_____对称，奇偶函数的定义域是关于________对称 奇偶性的判定法：①定义： ②判断方法：Ⅰ.定义法 步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求f(-x)；d.比较f(-x)与f(x)或f(-x)与-f(x)的关系。若f(-x)=f(x)，则函数f（x）为_______； 若f(-x)=-f(x)，则函数f（x）为_______； Ⅱ图象法 ③已知：H(x)=f(x)g(x) 若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相同，则在公共定义域内H(x)为_______ 若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相反，则在公共定义域内H(x)为_______ 已知：H(x)=f(x)g(x) 若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相同，则在公共定义域内H(x)和f（x）奇偶性_______ 若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相反，则在公共定义域内H(x)的奇偶性无法判断 ④常用的结论：若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0)＝_______ 3.函数奇偶性的性质： 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤ab)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）； 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反。偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤ab）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增） 如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是_______. 任意定义在R上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。 即_____________________ ④ 若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是_______；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是_______ 。 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 4.周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则_______为函数f(x)的周期。 若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则_______为函数f(x)的周期. 2 知识点拨 知识点1 函数奇偶性的判定和应用 【例题1】判断下列函数的奇偶性：1）． 2） 3） 解：1）定义域：　关于原点非对称区间∴此函数为非奇非偶函数 2）函数的定义域属于R,有所以此函数为奇函数 3） 所以函数的定义域为 去掉绝对值符号得又所以函数为奇函数 巩固练习：判断下列函数的奇偶性。1）的奇偶性___ ；2）f(x)= (x ( R)；3）4）已知是上的奇函数，且当时，，则的解析式为. 【例题2】 已知函数定义在R上，且对一切实数都有，且.求证：，且是偶函数； 证明：当x=y=0时，有f(0)+f(0)=2f(0)f(0)又,所以f(0)=1 当x=0时，带入中有 ,即函数是偶函数 巩固练习：定义在R上的函数f(x)满足：f(a+b)=f(a)+f(b)，（a，b为任意实数），又当f＞0时，f(t)＜0，求f(0)，并判断f(x)的奇偶数； 【例题3】设为实数，函数，．（1）讨论的奇偶性； （2）求 的最小值． 解：（1）当时，，此时为偶函数； 当时，，，∴ 此时函数既不是奇函数也不是偶函数． （2）①当时，函数， 若，则函数在上单调递减，∴函数在上的最小值为； 若，函数在上的最小值为，且． ②当时，函数， 若，则函数在上的最小值为，且； 若，则函数在上单调递增，∴函数在上的最小值． 综上，当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是， 当，函数的最小值是． 巩固练习 已知奇函数在定义域上是减函数且满足，求的取值范围. 知识点2 函数的周期性 周期性主要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要手段。 求周期的重要方法：①定义法；②公式法；③图象法；④利用重要结论：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a≠b，则T=2|a-b|。 【例题4】已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－f(x),求证:2m是f(x)的一个周期 证明：因为f(x＋m)＝－f(x)所以，f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]＝－f(x＋m)＝f(x) 所以f(x