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第十二章 非正弦周期电流电路 §1 非正弦周期信号 在电力系统，特别是电子系统和无线电工程中，还存在许多非正弦的交流电压与电流信号，其中有的是非周期性的，如阶跃函数信号；有的是周期性的，如以下一些波形所表示的信号：（略） 还有方波，脉冲波等。 本章不讨论非周期性信号作用的电路，只讨论非正弦周期电压，电流或信号的作用下，线性电路的稳态分析和计算方法。──谐波分析法 非正弦周期激励（电压、电流或信号） 分解成一系列不同频率的正弦量及恒定分量之和 分别计算在各个正弦量及恒定分量单独作用下在电路中产生的同频正弦电流分量和电压分量 得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压 谐波分析法的实质： 把非正弦周期电流电路的计算化为一系列正弦电流 电路的计算和直流电流电路的计算。 §2周期函数分解为傅里叶级数 任一周期性函数 只要满足狄里赫利条件，都可以分解为一个收敛的傅时叶级数。 电工电子技术中遇到的非正弦周期量一般都能满足狄里赫利条件。 一、傅里叶级数 其中 上式中的每一项，称为正弦谐波分量，简称谐波。 Ao──常数，称为零次谐波，（该分量是一个直流分量）。 ──称为一次谐波，或基波。 意思是该谐波的周期与函数相同，式中分别称基波振幅、角频率和初相。 ──二次谐波 ──k次谐波 二次及二次以上的谐波──统称为高次谐波 当k为奇数时──奇次谐波 k为偶数时──偶次谐波 上式中的系数，可按下列公式计算 二、非正弦周期量的频谱 傅里叶级数中各次谐波的振幅与初相可以用图形直观地显示，这个图形称为频谱图。 幅值频谱──表示振幅的图形 初相频谱──表示初相的图形 1）幅值频谱/幅度频谱 ──在直角坐标系中，横轴表示角频率，纵轴表示谐波振幅，按比例将各次谐波振幅，以适当长度的直线段分别垂直地画在相应的频率处，并在每一线段的顶端标明相应的谐波振幅，这就构成了幅值频谱。 无特别说明时，频谱即指幅值/幅度频谱。有时也称线频谱。 2）初相频谱/相位频谱 ──用直线段分别表示各次谐波的初相。 周期性非正弦量的频谱是离散的。 一般，傅里叶级数有无穷非零项，但随k增大而迅速减小，所以可取前面几项近似表达原函数，而可将高次谐波忽略不计。对于平滑的波形，由于收敛快，可少取几项。 在电路分析中，的展开式具有一定的物理含义： 若表示电源电压，其展开式则可表示为不同频率的多个电压源的串联。 若表示电流源，则展开式可表示不同频率电流源的并联。 例12-1 p266 p287~288几个典型的周期函数的傅里叶级数展开式。 三、波形对称性与傅里叶级数的关系 根据波形对称性可知傅里叶级数的某些分量为0，可简化计算。 1）偶函数 (Even Symmetry) 波形关于纵轴对称，例，余弦函数，P268，图12-6等 显然 的展开式中，不含有正弦分量，即 2）奇函数 (Odd Symmetry) 波形以原点对称，例268 图12-7 显然，的展开式中，不含有余弦分量，即 3）奇谐波函数(Half-Wave Symmetry) 波形特点：前半周平移半个周期与后半周成镜像对称。 例如 查 P288 特点：不含有偶次谐波分量， 傅里叶级数仅由奇次谐波组成。 4）偶谐波函数 波形特点：前后半周重合，（其实它的最小周期就是） 例如： 特点：奇次谐波分量为零， 一个周期性函数是偶函数还是奇函数，除与波形本身有关外，还与计时零点（即坐标原点）的选取有关，但一个周期性函数是奇谐波函数与否只与波形本身有关，与时间起点无关。 例 求：傅里叶级数展开式 解：奇函数 奇谐波函数 ∴ §3 有效值，平均值和平均功率 在电工技术中，我们不仅关心电路中的电流电压的波形特征，更关心电流，电压“做功”的能力，即有效值、平均功率等。对周期性非正弦电路亦然。 1. 有效值 对任一周期性电流，其有效值的定义式为