第六章自旋和角动量.doc

第六章 自旋和角动量 内容简介：在本章中，我们将先从实验上引入自旋，分析自旋角动量的性质，然后讨论角动量的耦合，并进一步讨论光谱线在磁场中的分裂和精细结构。最后介绍了自旋的单态和三重态。 § 6.1 电子自旋 § 6.2 电子的自旋算符和自旋函数 § 6.3 角动量的耦合 § 6.4 电子的总动量矩 § 6.5 光谱线的精细结构 § 6.6 塞曼效应 § 6.7 自旋的单态和三重态 首先，我们从实验上引入自旋，然后分析自旋角动量的性质。 施特恩-盖拉赫实验是发现电子具有自旋的最早实验之一。如右图所示，由 源射出的处于基态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场，照射到底片上。结果发现射线束方向发生了偏转，分裂成两条分立的线。这说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生里偏转。 由于这是处于态的氢原子，轨道角动量为零，态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生。这是一种新的磁矩。另外，由于实验上只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中的取向，是空间量子化的，而且只取两个值。假定原子具有的磁矩为，则它在沿方向的外磁场中的势能为 （6.1.1） 为外磁场与原子磁矩之间的夹角。 则原子方向所受到的力为 （6.1.2） 实验证明，这时分裂出来两条谱线分别对应于 和两个值。 为了解释施特恩-盖拉赫实验，乌伦贝克和歌德斯密脱提出了电子具有自旋角动量，他们认为： 每个电子都具有自旋角动量，在空间任何方向上的投影只能取两个值。若将空间的任意方向取为方向，则 （6.1.3） 每个电子均具有自旋磁矩 ，它与自旋角动量之间的关系为 （6.1.4） 在空间任意方向上的投影只能取两个值： 是玻尔磁子。 电子自旋的回转磁比率为： 轨道角动量的回转磁比率为： 自旋回转磁比率是轨道运动回转磁比率的两倍。 自旋是电子的固有属性，千万不要以为，电子的自旋是因为电子在作机械的自转引起的。可以证明，如果将电子想象成为一个电荷均匀分布的小球，由于电子的半径约为，要想使它的磁矩由于自转而达到一个玻尔磁子，则它表面的转速将超过光速，这显然是与相对论矛盾的。电子自旋是一个新的自由度，与电子的空间运动完全无关。电子自旋是电子的内禀属性，电子的自旋磁矩是内禀磁矩。 电子自旋具有下述属性： 它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示； 它完全是一种量子效应，没有 经典对应量。也就是说，当时，自旋效应消失。 它是角动量，满足角动量最一般的对应关系。而且电子自旋在空间任何方向上的投影只取两个值。 电子自旋算符和自旋函数 自旋是一个力学量，在量子力学中，它应该用线性厄米算符表示。其次，既然是算符，它的性质就应该由算符所满足的对易关系决定。由于自旋具有角动量性质，而角动量算符满足的对易关系是： （6.2.1） 在量子力学中，不要误以为角动量就是，只是轨道角动量，是角动量的一种。凡满足（6.2.1）的算符都是角动量。自旋既然是角动量，那么它自然满足： （6.2.2） 写成分量形式： （6.2.3） 由于自旋在空间中任意方向的投影只能取两个值。因此，任意选定坐标系后， 三个算符的本征值都是，的值都是即 （6.2.4） 则的本征值为： （6.2.5） 若将任何角动量平方算符的本征值记为，称为角动量量子数，则自旋角动量量子数满足： （6.2.6） 所以 为方便起见，引入算符 ，令 即 则由（6.2.2）及（6.2.7）式得 （6.2.9） 写成分量形式 （6.2.9） 而的本征值为，而且 （6.2.10） 定义：任意算符和的反对易关系为 （6.2.11） 则 （6.2.12） 同理 （6.2.13） （6.2.14） 现在来找特定表象下，算符的矩阵形式。由于与对易，则在它们的共同表象中，的矩阵必然为 （6.2.15） 这是因为 只有两个本征值，因而它对应的矩阵只能是的矩阵，而且在自身表象中，矩阵对角线上的元素就是它的本征值。 为求出，在表象中的矩阵形式，注意到与反对易，则与也只能是矩阵。 令 （6.2.16） 由于是厄米矩阵，也是厄米矩阵，则 （6.2.17） 则 （6.2.18） 又由于 则 即 则 若取，则（6.2.19） 由对易关系得 （6.2.20） 综上所述 （6.2.21） （6.2.22） 称为泡利矩阵。因为任何的厄米矩阵都可表示为单位矩阵和三个矩阵的线性组合