概率论1-6.pptVIP

* § １.６事件的独立性 这就是说,已知事件A发生,并不影响事件B发生的概率,这时称事件A、B独立. 首先我们考虑下面问题： “有放回抽样”的产品抽样问题，总共a个产品，其中有ｂ个次品，若前后抽样两次，有放回抽样，则注意到第１次是否取得正品并不影响第２次取得正品的概率，即假设Ａi表示“第ｉ次取得正品”，ｉ＝1,2，则P(A2|A1)=P(A2), 此时乘法公式为P(A1A2)=P(A1)P(A2) 例1 设试验E为抛甲,乙两枚硬币, 观察正反面出现的情况. 设事件A为甲币出现H, 事件B为乙币出现H. E的样本空间为S={HH,HT,TH,TT}, A={HH,HT}, B={HH,TH}AB={HH}. 则有 可知P(B|A)=P(B), 而P(AB)=P(A)P(B). 例2 10件产品中有4件正品，连续取两次，每次取一件，做有放回抽样，设B，A分别表示第一、二次取得正品，则P(A)=0.4,P(A|B)=0.4，故P(A|B)=P(A). 设A,B是试验的两事件，若P(B)0，则可定义P(A|B). 一般，B的发生对A发生的概率有影响时， P(A|B) ≠P(A) 影响不存在时，P(A|B)=P(A)，此时有 P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B) 定义1.6.1 若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B)， 则称A、B 为独立事件，或称A、B相互独立，简称A、B独立. 注意：若P(A)0, P(B)0，则A、B相互独立与 A、B互不相容不能同时成立。 即若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0,则A与B不独立. 　若A与B独立，且P(A)0,P(B)0,则A 、B不互斥. 而P(A) ≠0, P(B) ≠0 故 A、B不独立 我们来计算： P(AB)=0 P(AB) ≠ P(A)P(B) 即 设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是： 前面我们看到独立与互不相容的区别和联系， 1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B) 设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是： 1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B) 再请你做个小练习. 例3 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}，问事件A、B是否独立？ 例4 已知P(A)=0.4,P(A∪B)=0.7,当Ａ，Ｂ相互独立时，求P(B). 前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做: 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}, 在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立. 可见 P(A)= P(A|B), 即事件A、B独立. 则 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13 由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立 . 甲、乙两人向同一目标射击,记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？ 例如 （即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率） 两事件相互独立的含义是:它们中一个已发生, 不影响另一个发生的概率. 在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立. 一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2 若抽取是有放回的, 则A1与A2独立. 因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响. 又如： 因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则A1与A2不独立. 例5 一个家庭中有男孩又有女孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A={一个家庭中有男孩又有女孩}，B={一个家庭中最多只有一个女孩}，对下面两种情况，讨论A和B的独立性. （1）家庭中有两个孩子； （2）家庭中有三个孩子. 又比如, A,B分别表示甲乙两人患感冒. 如果甲乙两人的活动范围相距甚远, 就认为A,B相互独立, 若甲乙两人是同住在一个房间里的, 那就不能认为A,B相互独立了. 但注意！并非所有问题均可利用直觉判断 定理1.6.2 定理1.6.1 设A,B是两事件, 且P(B)0, 若A,B相互独立, 则P(A|B)=P(A)反之亦然.