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三类分式型数列和式不等式的放缩策略 　　数列和式不等式证明问题是高中数学永恒的话题，也是每年高考必考的热门考点，因此怎样证明数列和式不等式是师生们非常关注和必须解决的问题，也是学生必备的解题技巧，证明数列和式不等式的基本策略是放缩，因此如何放缩成为能否成功证明数列不等式的关键，下面以近几年高考题为例谈谈三类常见的分式型数列和式不等式放缩策略.1分母是一次型 　　例1（2015年高考广东卷理科第21题第（3）问改编）已知n∈N+且n≥2，求证：12+13+…+1nlnn. 　　解令f（x）=1x，（x0），则f（x）在（0，+∞） 　　内单调递减，如图1，由定积分的几何意义知 　　每个小曲边梯形的面积大于对应的矩形的面积， 　　即∫k+1kf（x）dxf（k+1），即ln（k+1）-lnk1k+1， 　　再令k=1，2，…，n-1，然后累加即得 　　12+13+14+…+1nlnn. 　　点评由于定积分概念的形成过程是以矩形的面积来逼近曲边梯形的面积，此时取区间的左端点还是右端点的函数值决定这些小矩形的面积是“大于”还是“小于”其本来曲边梯形的面积，利用这个性质来证明与“和式”相关的数列不等式特别有效、简捷，让人赏心悦目. 　　例2（2013年高考大纲版全国卷理科第22题第（2）问）设数列{an}的通项an=1+12+…+1n，证明：a2n-an+14nln2. 　　证明a2n-an+14nln2 　　1n+1+1n+2+…+1n+n+14nln2 　　1n+1n+1+…+12n-1ln2+14n. 　　设g（x）=1x，如图2，Sk=1k=1×g（k）表示 　　矩形ABCD的面积，其中A（k，0），B（k+1，0），C（k+1，g（k）），D（k，g（k）），E（k+1，g（k+1）），Sk′=∫k+1kg（x）dx表示曲边梯形ABED的面积， 　　由于函数g（x）=1x在（0，+∞）上是下凸函数，所以矩形ABCD的面积大于对应曲边梯形ABED的面积与右上角的小直角三角形CDE的面积之和，即SkSk′+12×1×g（k）-g（k+1），即1k∫k+1k1xdx+12（1k-1k+1）. 　　令k=n，n+1，…，2n-1，并相加得1n+1n+1+…+12n-1 　　∫2nn1xdx+12（1n-12n）=（lnx）2n 　　n+14n=ln2+14n. 　　所以，原不等式成立. 　　例3（2012年高考天津卷理科第21题第（3）问）证明：∑ni=122i-1-ln（2n+1）2（n∈N+）. 　　证明当n=1时，不等式左边=2-ln32=右边，所以原不等式成立. 　　当n≥2时，原不等式等价为∑ni=222i-1ln（2n+1）. 　　设f（x）=22x-1，如图3， 　　Si=22i-1=1×f（i）表示矩形ABCD的 　　面积，其中A（i，0），B（i-1，0），C（i-1，f（i））， 　　D（i，f（i）），E（i-1，f（i-1））. 　　Si′=∫ii-1f（x）dx表示曲边梯形ABED的面积，因为f（x）为减函数，所以SiSi′，即22i-1∫ii-1f（x）dx，令i=2，3，…，n，并相加得 　　∑ni=222i-1∫n122x-1dx=ln（2x-1）n1=ln（2n-1）-ln1=ln（2n-1）ln（2n+1）， 　　所以原不等式成立. 　　例4（2010年高考湖北卷理科第21题第（3）问）证明：1+12+13+……1nln（n+1）+n2（n+1）（n≥1）. 　　设f（x）=1x，如图4，Sk=1k=1×f（k）表示矩形ABCD的面积，其中A（k+1，0），B（k，0），C（k+1，f（k）），D（k，f（k）），E（k+1，f（k+1））， 　　Sk′=∫k+1kf（x）dx表示曲边梯形ABDE的面积， 　　由于函数f（x）=1x在（0，+∞）上是下凸函数， 　　所以矩形ABCD的面积大于对应曲边梯形 　　ABDE的面积与右上角的小直角三角形CDE 　　的面积之和，即SkSk′+12×1×f（k）-f（k+1）， 　　令k=1，2，…，n，并相加得 　　11+12+…+1n∫n+111xdx+12（1-1n+1） 　　=（lnx）n+1 　　1+n2（n+1）=ln（n+1）+n2（n+1）， 　　故原不等式成立.2分母是二次型 　　例5（2014年高考广东卷文19（3））已知an=2n，证明：对一切正整数n，有1a1（a1+1）+1a2（a2+1）+…+1an（an+1）13. 　　分析因为1an（an+1）=12n（2n+1），构造公差为2的等差数列{bn}，使12n（2n+1）1bnbn+1=12