实验四常微分方程初值问题数值解法.docVIP

实 验 报 告 课程名称 数值分析 实验项目 常微分方程问题初值问题数值解法 实验目的 理解如何在计算机上实现用Euler法、改进Euler法、Runge－Kutta算法求一阶常微分方程初值问题 的数值解。 利用图形直观分析近似解和准确解之间的误差。 学会Matlab提供的ode45函数求解微分方程初值问题。 二、实验要求 按照题目要求完成实验内容； 写出相应的Matlab 程序； 给出实验结果(可以用表格展示实验结果)； 分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。 写出实验报告。 三、实验步骤 1、用编好的Euler法、改进Euler法计算书本P167 的例1、P171例题3。 （1）取，求解初值问题 （2）取，求解初值问题 2、用Runge－Kutta算法计算P178例题、P285实验任务（2） （1）取，求解初值问题 （2）求初值问题 的解在处的近似值，并与问题的解析解相比较。 3、用Matlab绘图函数plot(x,y)绘制P285实验任务（2）的精确解和近似解的图形。 4、使用matlab中的ode45求解P285实验任务（2），并绘图。 四、实验结果 1、Euler算法程序、改进Euler算法程序； Euler算法程序：function [x,y]=euler_f(ydot_fun, x0, y0, h, N) % Euler（向前）公式，其中 % ydot_fun --- 一阶微分方程的函数 % x0, y0 --- 初始条件 % h --- 区间步长 % N --- 区间的个数 % x --- Xn 构成的向量 % y --- Yn 构成的向量 x=zeros(1,N+1); y=zeros(1,N+1); x(1)=x0; y(1)=y0; for n=1:N x(n+1)=x(n)+h; y(n+1)=y(n)+h*feval(ydot_fun, x(n), y(n)); end 改进Euler算法程序： function [x,y]=euler_r(ydot_fun, x0, y0, h, N) % 改进Euler公式，其中 % ydot_fun --- 一阶微分方程的函数 % x0, y0 --- 初始条件 % h --- 区间步长 % N --- 区间的个数 % x --- Xn 构成的向量 % y --- Yn 构成的向量 x=zeros(1,N+1); y=zeros(1,N+1); x(1)=x0; y(1)=y0; for n=1:N x(n+1)=x(n)+h; ybar=y(n)+h*feval(ydot_fun, x(n), y(n)); y(n+1)=y(n)+h/2*(feval(ydot_fun, x(n), y(n))+feval(ydot_fun, x(n+1), ybar)); end 2、用Euler算法程序、改进Euler算法求解P167例题1的运行结果； （1.）Euler算法程序： x = Columns 1 through 8 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 Columns 9 through 11 0.8000 0.9000 1.0000 y = Columns 1 through 8 1.0000 1.1000 1.1918 1.2774 1.3582 1.4351 1.5090 1.5803 Columns 9 through 11 1.6498 1.7178 1.7848 （2）改进Euler算法： x = Columns 1 through 7 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000