高中推理与证明知识总结.docxVIP

模块十二 推理与证明考纲解读高考大纲考试内容要求层次ABC合情推理与演绎推理合情推理归纳和类比演绎推理直接证明与间接证明综合法分析法反证法数学归纳法分析解读（1）能利用已知结论类比未知结论，并作出判断或证明（2）利用归纳推理猜想结论并加以证明（3）在解答综合题目中掌握演绎推理的基本模式（4）了解直接证明与间接证明的基本方法，体会数学证明的思考过程及特点，提升综合分析解决问题的能力（5）掌握“归纳——猜想——证明”的推理方法及数学归纳法的证明步骤推理与证明推理证明合情推理演绎推理归纳类比综合法分析法反证法直接证明间接证明数学归纳法知识导航考点剖析考点一 类比推理1、根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。2、类比推理的思维过程是： 观察、比较联想、类推推测新的结论考点二 归纳推理1、归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。2、归纳推理的思维过程大致如图： 实验、观察概括、推广猜测一般性结论3、归纳推理的特点：①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。 ②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。 ③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。考点三 演绎推理1、演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。2、主要形式是三段论式推理。3、三段论式常用的格式为： M——P （M是P）① S——M （S是M）② S——P （S是P）③其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。考点四 直接证明1、直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。2、综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。3、分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。考点五 间接证明1、间接证明：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。2、反证法的一般步骤是：反设——推理——矛盾——原命题成立。（所谓矛盾是指：与假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾）。3、 常见的“结论词”与“反议词”如下表：原结论词反议词原结论词反议词至少有一个一个也没有对所有的x都成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n－1个p或q? p且? q至多有n个至少有n＋1个p且q? p或? q考点六 数学归纳法数学归纳法证题的步骤：（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时，命题成立（2）（归纳递推）假设时，命题成立，证明当时，命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于开始的所有正整数都成立。真题演练由于北京市近五年来仅在2010年和2012年考查了该专题知识，因此本专题的“真题演练”版块还将选取近两年其他省份的高考题作为练习。1.【2010北京,20,13分】已知集合.对于，定义与的差为： A与B之间的距离为.证明：，有，且；证明：，三个数中至少有一个是偶数；设，中有个元素，记中所有两元素间距离的平均值为.证明：举一反三1.1【2012江西,6,5分】观察下列各式：则A．28 B．76 C．123 D．1991.2【2012陕西,11,5分】观察下列不等式，……照此规律，第五个不等式为 .1.3 【2012福建,17,13分】某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin2（﹣18°）cos48°（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin2（﹣25°）cos55°（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．2.【2012北京，20,13分】设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于