高中竞赛之重要不等式.docVIP

高中竞赛之重要不等式 1．柯西不等式定理1 对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即　　　　　　 等式当且仅当 时成立。本不等式称为柯西不等式。　　 证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。　　证明1　　　　 　右-左=　　当且仅当 时，等式成立。 由柯西不等式可以证下面的不等式。3次可以推广为4、5等n次。 证明:对和分别用柯西不等式,可得到两个不等式,将这两个不等式相乘,再用一次柯西不等式即可证明原不等式. 设，，则有 ． 即“反序和”“乱序和”“同序和”．其中．当且仅当或时等号成立． 〔切比雪夫不等式〕 实数，满足，（，，…，）．则 ． 当且仅当或时等号成立． 下面给出一个 时的契比雪夫不等式的直观理解。 　　 如图，矩形OPAQ中， ， ，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）。于是有 　　 ，也即 　　 3 琴生不等式 〔凸函数定义〕 1．设是定义在闭区间上的函数，若对任意，和任意，有 成立，则称是上的凸函数（也称下凸函数或凹函数）． 2．设是定义在上的函数，若对任意，且和任意，有 成立，则称是上的严格凸函数． 3．设是定义在上的函数，若对任意，和任意，有 成立，则称是上的上凸函数． 凸函数的定义表明了，上(下)凸函数的两个自变量的算术平均值处的函数值不小(大)于其函数值的算术平均值．从图象上看，表明联结上(下)凸函数图形上任何两点的弦的中点恒位于图形的对应点之下(上)．见图1． 　　是对区间内的任意两点x1x2都成立，不难看出，这实际上就保证了函数在整个区间的凸性．即上凸函数图象上的任一段弧都在所对应的弦的上方；下凸函数图象上的任一段弧都在所对应的弦的下方．并且由此形成的弓形是凸的区域．正因为这种函数的图象具有这种特点，所以我们才把它形象地名之曰：凸函数． 　　在初等数学里，关于函数的凸性，可根据图象来判断．例如，读者不难根据图象可以得出： 　　y=xa．当a＞1或a＜0时，是(0，∞)上的下凸函数；当0＜a＜1时，是(0，∞)上的上凸函数． 　　y=ax(a＞0，a≠1)．是(-∞，∞)上的下凸函数． 　　y=logcx(a≠1)．当a ＞1时，是(0，∞) 上的上凸函数；当0＜a＜1时，是(0，∞)上的下凸函数． 　　y=sinx是[0，π]上的上凸函数，是[π，2π]上的下凸函　　 　　f(x)对在定义域(a，b)内的所有x恒有＜0，则f(x)是(a，b)上的上凸函数；如果恒有＞0， 则f(x)是(a， b)上的下凸函数． 〔琴生〔Jensen）不等式〕（变量做和） 若是区间上的凸函数，则对任意，，…，有 ． 当且仅当时等号成立．当为上凸函数时，不等式反向． 〔琴生〔Jensen）不等式推论，即加权琴生不等式〕 若是区间上的凸函数，则对任意，，…，和对任意满足的正数，，…，，有 ．当且仅当时等号成立． 　若令qi=pi／(p1＋…＋pn)，其中p1，…，pn是任意正数．则琴生不等式(2)变成： 　　在(2)或(3)式中，f(x)取不同的凸函数，便得不同的不等式． 　　例1 令f(x)=xk，x≥0，k＞1，则f(x)是R+上的凸函数，因此有 　 　　 　　例2 令f(x)=lgx，x＞0，则f(x)是R+上的凹函数，故有 　　取反对数，得 　　　　　　　　　　 　　此即加权平均不等式． 1．设全是正数，且（，，…，），且，．求证： （1）； （2）． 证明：不妨设，于是 ，．由切比雪夫不等式得 ．（*） 又由均值不等式知．又，所以 ，而，代入（*）后整理可得（1）成立． 另一方面 ，．由切比雪夫不等式得 ．（**） 由均值不等式： ，故． 又，代入（**）整理后可得（2）成立． 2．有十人各拿一只水桶去打水，如果水龙头灌满第个人的水桶需要分钟，且这些（，，…，）各不相等，试问： （1）只有一只水龙头供水时，应如何安排这十个人打水的次序，使他们花费的总时间最少？这个最少的总时间是多少？ （2）若有两个相同的水龙头供水时，应如何安排这十个人的次序，使他们花费的总时间最少？这个最少的总时间是多少？ 解：（1）设安某次序打水时水龙头灌满第个人的水桶需要分钟，则第一人花费的时间为分钟，第二人花费的时间为分钟，……，第十人花费的时间为分钟．总的花费时间为 ． 其中，序列，，…，是，，…，的一个排列．由题设各各不相同，不妨设，则由排序原理知 ． 即安任意一个次序打水花费的总时间不小于安如下顺序打水的时间：先安打水所需时间从小到大依次排队，然后逐个打水．即此时花费时间最省，总花费的时间为（）分钟． （2）如果有两个水龙头，设总