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议古典概型 作者：王雷 指导老师：桂春燕 摘要 概率论是研究随机现象数量规律的数学学科,随机现象在我们日常生活中随处可见,随着科技的日新月异,经济全球化的日益快速发展,概率论也发挥着越来越大的作用,古典概型是概率论中的基本问题之一,是概率论发展初期的主要研究对象.内容比较简单,应用却十分广泛.本文的研究目的是从一些典型的事件为例入手研究古典概率模型的一些解题方法,希望能给读者一定的启发. 关键词 随机试验 等可能性 古典概型 引言 古典概型的起源与赌博问题有关.17世纪中叶,法国一位热衷于掷骰子赌博的贵族赌徒德·梅耳,他有要急于处理的事情必须中途停止赌博,要对胜负的预测把赌资进行合理的分配,但不知用什么比例分配才好,于是就写信向当时法国的最高数学家帕斯卡请教.帕斯卡邀请当时数学家费尔玛一起,研究了德·梅耳提出的关于骰子赌博的问题:掷两个骰子时,下注猜几点赢的机会大.掷两个骰子朝上的面共有36种可能,它们的点数为2到12的整数.如下表所示： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 在这36种可能中出现7点的占6次且最多,也就是压7点赢的概率大些,而这就是最初古典概型的出处. 2 古典概型的定义与计算 2.1 随机试验的定义 在了解古典概型定义之前,我们先了解这样一个概念--随机试验：概括的讲,在概率论中把符合下面三个特点的试验叫做随机试验： （1）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果. （2）进行一次试验之前无法确定哪一个结果会出现. （3）可以在同一条件下重复进行试验. 例1 可以根据以下示例进行理解： ：抛掷一枚硬币,观察正面,反面出现的情况. ：抛掷一颗骰子,观察出现的点数. ：连续向靶射击10次,记录整数环. 解 试验中结果有2个,且事先知道结果为正面或反面.进行试验前不知出现哪个面,可以在同一条件下反复抛掷.说明是一个随机试验. 试验中结果有6个,且事先知道结果为1到6点之中一个.进行试验前不知出现几点,可以在同一条件下反复抛掷.说明是一个随机试验. 试验中结果有11种,且事先知道结果为0到10环之中一个.进行试验前不知出现几环,可以在同一条件下反复射击.说明是一个随机试验. 2.2 古典概型的定义 了解随机试验概念后,我们来了解古典概型的定义.如果一个随机试验具有以下特征： （1）试验的样本空间中仅含有有限个样本点; （2）每个样本点出现的可能性相同; 则称该随机试验为等可能概型.等可能概型在概率论发展的初期,曾经是主要的研究对象,所以习惯上就称之为古典概型. 例2 我们依然借助上面的事例进行理解： 解 抛掷一枚硬币试验中,样本空间的样本点只有2个（正面和反面）,且出现正面反面的可能性一样.说明是一个古典概型. 同理,抛掷骰子的试验中,样本空间的样本点只有6个（1点到6点）,且出现每个点数的可能性一样.说明也是一个古典概型. 但是,连续打靶10次试验中,样本空间的样本点的确只有11个（0环到10环）,但每个结果出现的可能性不一样.（如结果可能只有3种,10环8个,9环2个,0环1个,且命中每个环的概率也是不一样的）,故是一个随机试验,但不是一个古典概型. 2.3 古典概型的计算公式 了解古典概型的概念后,我们继续了解计算公式.设试验的样本空间由个样本点构成, 为的任意一个事件,且包含个样本点, 则事件出现的概率: . 例3 5个球中有3个黑球,2个白球,求随机从中抽取一个黑球的概率. 解 样本空间的总数是5个,事件（从中抽取一个黑球）样本点的个数是3个,所以抽到黑球的概率为 . 3 古典概型的典型实例 3.1 摸球问题 例4 （有放回抽样）设袋中有不同的个黑球,个白球,从中依次有放回的摸三次,每次摸一个．求下列事件的概率： “仅仅第二次摸得黑球”; “三次中仅有一次摸得黑球”; “至少一次摸得黑球”. 解 这是一个古典概型问题,抽样方法是有放回抽样. 问题是有放回的抽样.可分步完成,抽球的结果必然是第一个白球,第二个黑球,第三个也是白球.样本空间个数是,抽到白球的样本点个数是,根据古典概型的定义,此时将球放回,第二个黑球的样本空间个数是,抽到黑球的样本点的个数是,故;第三个是白球,情况同第一个白球,故.综合上述,应用分步乘法计数原理,从而 . （2）基本事件总数是一次摸黑球另两次摸白球,共有三种情况：(1)黑白白(2)白黑白(3)白白黑.情况（2）已经在第一问讨论过,而情况（1）、情况（3）的概率和情况（2）相同.应用分类加法计数原理,从而 . （3