实验八傅立叶变换.docVIP

实验八 傅立叶变换 一、实验目的 利用MATLAB进行离散时间傅立叶变换；分析时域采样频率与频谱混叠；由离散序列恢复模拟信号。 二、实验原理及实验内容 无限长离散序列的傅立叶变换称为离散时间傅立叶变换，它的正逆变换的形式如下： 可见它在时域上是离散序列，而在频域上是连续函数，即具有连续的频谱。如果时域序列是有限长的，并把它做周期延拓，它的频谱就向一些等间隔的点靠拢。随着延拓周期数的无限增加，其连续频谱就收敛于周期性的离散点，此时就要用离散傅立叶变换来处理。其一般规则如表所示 表 傅立叶变换一般规则 时域信号（傅立叶反变换） 频谱曲线（傅立叶变换） 变 换 名 称 连续信号 连续频谱 傅立叶变换 离散信号（有限样本点） 周期性连续频谱 离散时间傅立叶变换 多周期离散信号 连续频谱向离散点集中 离散时间傅立叶变换 周期性离散信号 周期性离散频谱 离散傅立叶变换 周期性连续信号 离散频谱 傅立叶级数 1．离散时间傅立叶变换 取一个周期的正弦信号，作8点采样，求它的连续频谱。然后对该信号进行N个周期延拓，再求它的连续频谱，比较分析其结果。 建模： 为了求离散信号的连续频谱，不能直接用fft函数，可从离散傅立叶变换的定义出发。 设置一系列较密频率点wi，就可求出一系列X(wi)=x*exp(-j*wi*n’)，因为x是行向量，n’以及exp(-j*wi*n’)为同长的列向量，两者的向量点乘就包含了逐项相乘后的连加演算，得出一个标量X(wi)，即该频点上的频率响应。不同的wi可用for循环来解决。但MATLAB中往往可以用元素群运算来代替一个for循环，为此把w也设成行向量，放在n’之后，n’*w及exp(-j*n’*w)就成为一个矩阵，其行数与x相同，列数与w的长度相同。用x左乘它以后，各列分别得出相应wi处的响应，最后得到X=x*exp(-j* n’ * w)。 注意：在此定义下的时间变量和频率变量都是无量纲的，要恢复其原来量纲，应把无 量纲时间n乘以采样周期Ts，而把无量纲频率w乘以采样频率Fs。 程序： clc;clear;close all %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%text1%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5 n=[0:7]; %%时间序列采样点 x=sin(n*2*pi/length(n)); %%8点采样正弦时间序列 w=[-pi:2*pi/800:pi]; %%离散频率点 Xw=x*exp(-j*[1:length(x)]*w); %%运用离散傅里叶变换公式计算频谱 subplot(3,1,1),area (w,abs(Xw)); %%画出幅频响应填充图 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% NN=4; %%时间序列进行4个周期的延拓 x1=[x,x,x,x]; %%时间序列进行4个周期的延拓 Xw1=x1*exp(-j*[1:length(x1)]*w)/NN; %%运用离散傅里叶变换公式计算频谱 subplot(3,1,2),area (w,abs(Xw1)); %%画出幅频响应填充图 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Xw2=fftshift(fft(x)); %%用FFT求序列的DFT计算周期序列的频谱 Xw2(9)=Xw2(1); %%构造画图参数 n1=[-pi:pi/4:pi]; subplot(3,1,3),stem(n1,abs(Xw2)); %%画出幅频响应火柴棍图 axis([-pi,pi,0,6])； %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 图形结果： 2．时域采样频率与频谱混叠 计算并图示及其幅频特性函数。 分别以采样频率=10000Hz，400Hz对进行等间隔采样，得到，T=1/为采样周期。计算并图示三种采样频率下的采样信号x(n)及其幅频特性函数。观察的周期性、周期以及频谱混叠程度与的关系。 建模： 对进行等间隔采样，得到，T=1/为采样周期。如果，则 由以上关系式可见，采样信号的频谱函数是原模拟信号频谱函数的周期延拓，延拓周期为。如果以频率为自变量（），则以采样频率为延拓周期。对频带限于的模拟信号，只有当时，采样后才不会发生频谱混