存在与恒成立问题.docVIP

第1练　存在与恒成立问题 题型一　不等式的恒成立问题 例1　已知函数f(x)＝ax－1－ln x，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，对x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围． 题型二　存在性问题 例2　已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3. (1)求f(x)的解析式； (2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围． 题型三　存在与恒成立的综合性问题 例3　已知a0，函数f(x)＝ln x－ax2，x0.(f(x)的图象连续不断) (1)求f(x)的单调区间； (2)当a＝时，证明：存在x0∈(2，＋∞)，使f(x0)＝f； (3)若存在均属于区间[1,3]的α，β，且β－α≥1，使f(α)＝f(β)，证明：≤α≤. 1．(2013·课标全国Ⅱ改编)若存在正数x使2x(x－a)1成立，则a的取值范围是________． 2．已知函数f(x)＝2ax3－3ax2＋1，g(x)＝－x＋，若任意给定的x0∈[0,2]，总存在两个不同的xi(i＝1,2)∈[0,2]，使得f(xi)＝g(x0)成立，则实数a的取值范围是________． 3．(2014·课标全国Ⅱ改编)设函数f(x)＝sin.若存在f(x)的极值点x0满足x＋[f(x0)]2m2，则m的取值范围是____________________． 4．(2014·山东改编)已知实数x，y满足axay(0a1)，则下列关系式恒成立的是________． ①； ②ln(x2＋1)ln(y2＋1)； ③sin xsin y; ④x3y3. 5．若函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________________． 6．(2014·辽宁改编)当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是________． 7．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________． 8．(2014·江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是________． 9．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝x2－2ax＋4，若对于任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是__________． 10．(2014·浙江)已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a0)，若f(x)在[－1,1]上的最小值记为g(a)． (1)求g(a)； (2)证明：当x∈[－1,1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4. 11．已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1. (1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围； (2)证明：(x－1)f(x)≥0. 12．(2014·陕西)设函数f(x)＝ln x＋，m∈R. (1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； (2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数； (3)若对任意ba0，1恒成立，求m的取值范围． 存在与恒成立问题例1　破题切入点　有关不等式的恒成立求参数范围的问题，通常采用的是将参数分离出来的方法． 解　(1)在区间(0，＋∞)上，f′(x)＝a－＝， 当a≤0时，f′(x)0恒成立，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减； 当a0时，令f′(x)＝0得x＝，在区间(0，)上， f′(x)0，函数f(x)单调递减，在区间(，＋∞)上，f′(x)0，函数f(x)单调递增． 综上所述：当a≤0时，f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)，无单调递增区间； 当a0时，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)． (2)因为函数f(x)在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝0，解得a＝1，经检验可知满足题意． 由已知f(x)≥bx－2，即x－1－ln x≥bx－2，即1＋－≥b对x∈(0，＋∞)恒成立， 令g(x)＝1＋－，则g′(x)＝－－＝， 易得g(x)在(0，e2]上单调递减，在[e2，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(e2)＝1－，即b≤1－. 破题切入点　(1)利用极值处导数为0及导数的几何意义求出f(x)． (2)借助导数几何意义表示切线方程，然后分离参数，利用数形结合求m的范围． 例2解　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.依题意 又f′(0)＝－3，∴c＝－3，∴a＝1，∴f(x)＝x3－3x. (2)设切点为(x0，x－3x0)，∵f′(x)＝3x2－3.∴f′(x0)＝3