{高考必备]高一数学北师大版必修4学案：3.3二倍角的三角函数（二）Word版含答案(经典).docxVIP

明目标、知重点　1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变形的基本思想方法，以及进行简单的应用.2.了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积公式的基本方法．理解方程思想、换元思想在整个变换过程中所起的作用．1．半角公式(1)：sin＝±；(2)：cos＝±；(3)：tan＝±(无理形式)＝＝(有理形式)．2．辅助角公式使asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)＝cos(x－θ)成立时，cosφ＝，sinφ＝，sinθ＝，cosθ＝，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a，b)决定．[情境导学]　三角变换不同于代数式变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一．而对于三角变换，不仅要考虑三角函数式结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换．从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点．例如，在二倍角公式中2α是α的二倍，α是的二倍，那么cosα能用的三角函数表示出来吗？反过来，你能用cosα表示出sin2，cos2，tan2吗？探究点一　半角公式的推导思考1　如何用cosα表示sin、cos、tan？答　∵cosα＝cos2－sin2＝1－2sin2，∴2sin2＝1－cosα，∴sin2＝，∴sin＝±；∵cosα＝2cos2－1，∴cos2＝，∴cos＝±；∵tan2＝＝＝，∴tan＝±.思考2　半角公式中根号前面的正负号怎样确定？答　在半角公式中根号前面的正负号由所在的象限来确定．思考3　利用倍角公式，半角的正切公式还可以作如何变形？答　tan＝＝.证明：∵＝＝tan，∴tan＝，同理可证tan＝.∴tan＝＝.例1　已知cosα＝，α为第四象限角，求sin、cos、tan的值．解　sin＝±＝±＝±，cos＝±＝±＝±，tan＝±＝±＝±.∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角．当为第二象限角时，sin＝，cos＝－，tan＝－；当为第四象限角时，sin＝－，cos＝，tan＝－.反思与感悟　在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于tan，还要注意运用公式tan＝＝来求值．跟踪训练1　已知cosθ＝－，且180°θ270°，求tan的值．解　方法一　∵180°θ270°，∴90°135°，∴tan0，∴tan＝－＝－＝－2.方法二　∵180°θ270°，∴sinθ0，∴sinθ＝－＝－＝－，∴tan＝＝＝－2.探究点二　辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)＝cos(x－θ)思考1　将下列各式化成Asin(ωx＋φ)或Acos(ωx－θ)的形式，其中A0，ω0，|φ|.sinx＋cosx＝sin＝cos；sinx－cosx＝sin＝－cos；sinx＋cosx＝2sin＝2cos；sinx－cosx＝2sin＝－2cos；sinx＋cosx＝2sin＝2cos；sinx－cosx＝2sin＝－2cos.思考2　请写出把asinx＋bcosx化成Asin(ωx＋φ)形式的过程．答　asinx＋bcosx＝＝(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝sin(x＋φ)(其中sinφ＝，cosφ＝)．例2　已知函数f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值．解　(1)f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1＝sin2x－cos2x＝sin.因此，函数f(x)的最小正周期为π.(2)因为f(x)＝sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f＝0，f＝，f＝sin＝－cos＝－1，故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.反思与感悟　研究形如f(x)＝asin2ωx＋bsinωxcosωx＋ccos2ωx的性质时，先化成f(x)＝Asin(2ωx＋φ)＋B的形式再解答．跟踪训练2　已知函数f(x)＝sin＋2sin2 (x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．解　(1)∵f(x)＝sin2＋1－cos2＝2＋1＝2sin＋1＝2sin＋1，∴T＝＝π.(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，有2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋ (k∈Z)，∴所求x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．例3　如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．解　在Rt△OBC中，OB＝cosα，BC＝sinα.在Rt△OAD中，＝tan6