第八章向量公式讲解.doc

第八章 向量 1、向量的概念： 既有大小又有方向的量，注意向量和数量（或标量）的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段。向量不能比较大小。 2、向量的表示： （1）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（2）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3、向量的模 向量的模：。实数和复数有类似性质么？ 两点间的距离：若，则。 相等向量： 几何表示：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 代数表示：对应坐标相等。 4、负向量与零向量 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；规定零向量和任何向量平行。 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。 5、平行向量 平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥。 注意：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线（斜率存在时）两条长度小的线段长之和等于长度最大的线段。 向量平行(共线)的充要条件： 向量平行且方向相同（或相反）的充要条件： 6、单位向量 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)。 注意：与共线（或垂直）的向量有多少个，共线（或垂直）的单位向量有多少个？ 7、向量的加减法 设，则：，。 注意：一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量。 性质：①向量加法的交换律：+=+； ②向量加法的结合律：(+) +=+ (+) ③向量的减法向量加上的相反向量，叫做与的差。即： (= + (()； 差向量的意义： = , =, 则=( 8、平行四边形与三角形法则 ①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即； ②向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。 10、向量和与差的模的不等式 特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似). 10、实数与向量的乘积 实数与向量的积是一个向量，记作，与平行。它的长度和方向规定如下：当0时，的方向与的方向相同，当0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。 。 性质：实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 11、定比分点 设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实数 ，使，则叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比分点； （1）的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段 PP上时0；当P点在线段 PP的延长线上时－1；当P点在线段PP的延长线上时。 注意：。 （2）线段的定比分点公式：设、，分有向线段所成的比为，则，特别地，当＝1时，就得到线段PP的中点公式。（此公式如何推导） 在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。 （3）重心公式：在中，①若，则其重心的坐标为 ； 推论： ①为的重心，特别地为的重心； ②为的垂心； ③向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)； ④为的外心； *⑤的内心； *⑥向量中三终点共线存在实数使得且。 12、两向量的数量积 如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝，。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 13、在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。 14、向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则： ①；②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；③当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；④。 向量的运算律： （1）交换律：，，； （2）结合律：，； （3）分配律：，。 两个向量的运算与两个实数、