数列的综合应用(第一课时).docVIP

数列的综合应用 知识回顾 典题解析 　知识点一 数列与不等式应用 例题1.已知为锐角，且， 函数，数列{an}的首项. ⑴ 求函数的表达式； ⑵ 求证：； ⑶ 求证： 分析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。 解：⑴ 又∵为锐角 ∴ ∴ ⑵ ∵ ∴都大于0 ∴ ∴ ⑶ ∴ ∴ ∵, , 又∵ ∴ ∴ ∴ 点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式的证明更具有一般性。 例题2. 已知函数,数列满足, ; 数列满足, .求证: （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）若则当n≥2时,. 分析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。 解(Ⅰ)先用数学归纳法证明,. （1）当n=1时,由已知得结论成立; （2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时, 因为0x1时,,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 所以f(0)f()f(1),即0. 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.又由, 得,从而. 综上可知(Ⅱ)构造函数g(x)=-f(x)= , 0x1, 由,知g(x)在(0,1)上增函数.又g(x)在上连续,所以g(x)g(0)=0. 因为,所以,即0,从而(Ⅲ) 因为 ,所以, , 所以 ————① , 由(Ⅱ)知:, 所以= , 因为, n≥2, 所以 =————② .由①② 两式可知: . 　　　　　　　　　　知识点二　数列的实际应用 例４ 某人，公元2000年参加工作，考虑买房数额较大。需做好长远的储蓄买房计划，打算在2010年的年底花50万元购一套商品房，从2001年初开始存款买房，请你帮我解决下列问题： 方案1：从2001年开始每年年初到建设银行存入3万元，银行的年利率为1.98%，且保持不变，按复利计算（即上年利息要计入下年的本金生息），在2010年年底，可以从银行里取到多少钱？若想在2010年年底能够存足50万，每年年初至少要存多少呢？ 方案2：若在2001年初向建行贷款50万先购房，银行贷款的年利率为4.425%，按复利计算，要求从贷款开始到2010年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢？ 解：按复利计算存10年本息和（即从银行里取到钱）为： 3×+3×+…+3× =≈33.51（万元） 设每年存入x万元，在2010年年底能够存足50万则： 解得x=4.48（万元） 分析：通过方案1让学生了解了银行储蓄的计算，也初步掌握了等比数列在银行储蓄中的应用，储蓄买房时间长久，显然不切合我的实际，于是引出分期付款问题； 方案二： 分析方法1：设每年还x，第n年年底欠款为，则 2001年底：=50（1+4.425%）–x 2002年底：=（1+4.425%）–x =50–（1+4.425%）·x–x … 2010年底：=（1+4.425%）–x =50×– ·x–…–（1+4.425%）·x–x =50×– 解得：≈6.29（万元） 分析方法2：50万元10年产生本息和与每年存入x的本息和相等，故有 购房款50万元十年的本息和：50 每年存入x万元的本息和：x·+x·+…+x =·x 从而有 50＝·x 解得：x=6.29（万元） ， 10年共付：62.9万元。 基本训练 1. 数列中， ，则 。 2. 等差数列中，，公差不为零，且恰为某等比数列的前3项，那么该等比数列的公比等于 。 3. 是等差数列的前n项和，若，则m = 。 4. 设是等比数列，是等差数列，且，数列的前三项依次是，且，则数列的前10项和为 。 5. 如果函数满足：对于任意的实数，都有，且，则 　　　　　　。 能力提高 1. 等差数列的前n项和为，若的值为常数，则下列各数中也是常数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列和等比数列各项都是正数，且，那么，一定有（ ） A. C. 3. 等差数列所有项的和为210，其中前4项的和为40，后4项的和为80，则项数为