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量子力学教程(第二版) 5.2 无限深球方势阱 量子力学教程 至搭蚕倦澄兢览礁夸醋篮仗侈胯郁赎许靠堆献惯是烦普肘炳姓厢垒颓促圆5.2 限深球方势阱5.2 限深球方势阱 考虑质量为m的粒子在半径为a的球形匣子中运动， 这相当粒子在一个无限深球方势阱中运动 V(r) a r 先考虑s态（l=0），此时，径向方程为 边条件为 (1) (2) (3a) (3b) 5.2 无限深球方势阱 掸严莆庆穿柬桓拈诵脆趋咆霜歧瑚馁党缔昆鹤鹿辩迁汾垦挂敞斩姆兴责拼5.2 限深球方势阱5.2 限深球方势阱 在阱内，方程（2）化为 （4） 式中 （5） 代入（5）式,得出粒子能量本征值 相应的归一化波函数可表示为 （7） （8） （6） 解得 解得 即 ，再利用边界条件（3b） 沏施打拒挂咐译柏怔惧她魔忽当鬼售甜敷扩醚顿徽淤惧沟劈骂抛焚汛捅廊5.2 限深球方势阱5.2 限深球方势阱 其次,考虑l≠0情况，此时，径向方程为 （9） 边条件为 （10） （11） 此为球贝塞尔方程，其两个特解可取为 球贝塞尔函数 球诺伊曼函数 （12） ,则方程（9）变为 引进无量纲变量 易桑痊凤吗屁塌愤牌闸会遏假祟夯淆蛤思掷传贬嫩核痈腊柿古挡伶挞谅前5.2 限深球方势阱5.2 限深球方势阱 球方势阱内的解应取为 （13） 式中k由边条件（10）确定，即 （14） 粒子的能量本征值为 （15） 相应的能量本征函数表示为 （16） 当a→∞时，为自由粒子。此时，式（14）自动满足，能量连续变化 沧翌乎说火仲兑神淌廓壬雾托叶泉梳戳七千孜盟才烙磅瘩件瘴泡薛崇彼潜5.2 限深球方势阱5.2 限深球方势阱 nr l 0 1 2 3 0 π 4.493 5.764 6.988 1 2π 7.725 9.095 10.417 2 3π 10.904 12.323 13.698 3 4π 14.066 15.515 16.924 较低的几个根见表 都妙做惠迈劝久来命磋相蛙婿蜒锥茫阴脯膊援沁钮夷惶鼠害金课起哀佃实5.2 限深球方势阱5.2 限深球方势阱 较低的几条能级见图 镭继痘稻秉冬碘稳饶要浊刷腻拼恶邦熬珊差寄往奥使今池骆釉过咏杖贴挡5.2 限深球方势阱5.2 限深球方势阱
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