第五节函数的微分..docVIP

第五节 函数的微分 教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用微分作近似计算 教学重点：微分的计算 教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算 教学内容： 一、微分的定义 计算函数增量是我们非常关心的。一般说来函数的增量的计算是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法。 先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由变到（图2-1），问此薄片的面积改变了多少？ 设此薄片的边长为，面积为，则是的函数：。薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量自取得增量时，函数相应的增量，即 。 从上式可以看出，分成两部分，第一部分是的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当时，第二部分是比高阶的无穷小，即。由此可见，如果边长改变很微小，即很小时，面积的改变量可近似地用第一部分来代替。 一般地，如果函数满足一定条件，则函数的增量可表示为 ， 其中是不依赖于的常数，因此是的线性函数，且它与之差 ， 是比高阶的无穷小。所以，当，且很小时，我们就可近似地用来代替。 定义： 设函数在某区间内有定义，及x在这区间内，如果函数的增量 可表示为 ， ① 其中是不依赖于的常数，而是比高阶的无穷小，那么称函数在点是可微的，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即 。 下面讨论函数可微的条件。设函数在点可微，则按定义有①式成立。①式两边除以，得 。 于是，当时，由上式就得到 。 因此，如果函数在点可微，则在点也一定可导（即存在），且。 反之，如果在点可导，即 存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成 ， 其中（当）。由此又有 。 因，且不依赖于，故上式相当于①式，所以在点也是可微的。 由此可见，函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导，且当在点可微时，其微分一定是 。 ② 当时，有 。 从而，当时，与是等价无穷小，这时有 ， ③ 即是的主部。又由于是的线性函数，所以在的条件下，我们说是的线性主部（当）。这是由③式有 ， 从而也有 。 式子表示以近似代替时的相对误差，于是我们得到结论：在的条件下，以微分近似代替增量时，相对误差当时趋于零。因此，在很小时，有精确度较好的近似等式 。 函数在任意点的微分，称为函数的微分，记作或，即 。 评注：⑴由微分的定义，我们可以把导数看成微分的商。例如求对的导数时就可以看成微分与微分的商，即 。 ⑵函数在一点处的微分是函数增量的近似值，它与函数增量仅相差的高阶无穷小。因此要会应用下面两个公式： ， 。 作近似计算。 二、微分的几何意义 为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义。 在直角坐标系中，函数的图形是一条曲线。对于某一固定的值，曲线上有一个确定点当自变量有微小增量时，就得到曲线上另一点.从图2-2可知： ， 。 过M点作曲线的切线,它的倾角为，则 ， 即 。 由此可见，当是曲线上的M点的纵坐标的增量时，就是曲线的切线上M点的纵坐标的相应增量。当很小时，比小得多。因此在点的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 由，很容易得到微分的运算法则及微分公式表（当都可导）： ， ， ， 。 微分公式表： ，，，， ，，， ，，，， ，，， 。 注：上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处，而且上述公式要从右向左背。例如： ，，，。 复合函数微分法则 与复合函数的 求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下： 设及都可导，则复合函数的微分为 。 由于，所以，复合函数的微分公式也可以写成 或。 由此可见，无论是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式保持不变。这一性质称为微分形式不变性。这性质表示，当变换自变量时（即设为另一变量的任一可微函数时），微分形式并不改变。 例1： 已知，求. 解：=，所以 例设，利用微分形式不变性求解记，则，于是 . 又，故. 例3： 填空题 ⑴ 若函数，其中是可微的正值函数，则； ⑵ 设函数由方程确定，则． 解：⑴ 由于函数可写为，所以， 故． ⑵ 这是一个求隐函数微分的问题．由方程可得，当时，． 在方程两端同时求微分，有 代入，得 故 ． 经济