(高等数学俯视中学数学落0.docVIP

高等数学俯视中学数学 作 者：罗森丽 指导老师：王保军 (南阳师范学院 数学与统计学院 2003级02班) 摘 要 从大学所学的微积分，高等代数，空间解析几何等方面着手联系中学的数学知识，把这些高等数学的知识与中学现行教材结合起来，以几个例子入手来说明问题，以便深刻理解中学数学知识，提高学生学习这些内容的情趣，并学以致用. 关键词 微积分；不等式；高等代数；指导；应用 在高等数学学习中，如何把高等数学知识应用于中学数学，用高等数学的思想理解中学数学，对师范专业的学生有特殊的意义。有许多大学生，别是师范类大学生，一入学就发现，他们面临的问题好像同中学里学过的东西一点联系也没有，当然也很快就完全忘了中学所学的东西；但是毕业以后当了中学老师，他们又忽然发现，要按传统的教法来教中学内容，由于缺乏指导他们又很难辨明当前的中学教学内容与所学大学课程之间的联系.数学专业的大学生学到的专业知识是不少的，但许多重要的以及在中学任教中用得到的部分却往往被忽视了，如果我们在学习高等数学的过程中，注重高等数学对中学数学的渗透，注重高等数学对初等数学的直接指导作用，总之，我们注重初等数学与高等数学的融合，我们就一定能够克服上述弊端，就能平静地实现中学学习——大学学习——中学教学之间的过渡. 一 微积分在解决中学数学问题中的应用 初等数学是高等数学的基础，二者有着本质的联系。将高等数学的理论应用于初等数学，使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作，是一个值得研究的课题。微积分在不等式的证明，求函数极限，单调区间，曲线的切线，方程根的讨论，研究函数的性态与作图及解决实际问题等方面，不仅可以化繁为简，而且能使问题的研究更为深入全面。 1 不等式的证明 例1 证明：当时， 证明：设,它在区间上满足拉格朗日中值定理的条件， 所以，使得 由于 ，故 ， 即： 例2 证明不等式和 证明：设， 则 （） 所以递增.又， 故0 即 再设 则 由上面已证得的结果：1+x知 所以递增. 因，所以， 即： 在某邻域内，函数取得极大值或极小值，利用极值的特点也可以证明不等式，如例3： 例3 设，证明： 证明：设，求导可得： 令得 也即： 可求得. 在内，可能成为极值的函数值是 ， ， 因为，所以. 将进行比较， 得：. 设是定义在上的函数，若对任意的和任意，都有成立，则称是上的凸函数． 反之，总有，则称是上的凹函数．如果上述不等式均改为严格不等式，则相应的函数分别称为严格凸函数和严格凹函数． 例4（不等式）设.有其中 证明：令 因为， 由判定定理知：在上是严格凸函数， 由不等式，得到： 　 今设 为非负实数，且， 在上述表达式中以代替， 得到： 　 由题设可知　 令，， 不妨设 ， 代入上式便得到不等式： . 特别地，取时就可得到不等式： . 2 函数的极值，单调区间问题 由导数的几何意义，可以很容易地求得曲线的切线，也可以很方便地求出函数的单调区间和极值. 例5 已知函数，其中的底数， （1）讨论函数的单调性 （2）求函数在区间上的最大值. 解：（1） 对求导可得. ①当时,令,得. 若,则,从而在上单调递增； 若,则, ,从而在上单调递减. ②当时,令,得,故或 若,则, ,从而在上上单调递减； 若,则,从而在上单调递增； 若.,则,从而在上单调递减. （2）当时, 在区间上的最大值. 当时, 在区间上的最大值； 当时, 在区间上的最大值. 3函数的变化性态及作图 函数的图像以其直观性有着别的工具不可替代的作用，特别是在说明一个函数的整体情况及其特征的时候，其作用尤为明显，这就要求我们能正确地作出函数图象.中学教材 在介绍二次函数，指数及三角函数等函数的时候，通常用描点法作出函数的图像.这中图像一般是粗糙的，不一定能准确地反映曲线在一点和区间上的性态.利用倒数作为工具可以有效地对函数的增减性，极值点，凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断，从而比较准确地作出函数的图像.一般来说，描绘函数的图像可以按下面的步骤进行： a. 求出函数的定义域，确定函数范围； b. 判别函数是否具有奇偶性或周期性，缩小描绘图象的范围； c. 求函数的不连续点，并讨论函数在不连续点的左右变化情况，可能存在极限，也可能趋向无穷（此时有垂直渐近线）.如果函数定义域是无限区间，则要讨论当x无限增加时，的变化趋势，若存在极限，则有水平渐近线，若趋于无穷则应考虑是否有斜渐近线； d. 计算函数的一，二阶导数，并求解和 ，讨论的单调性，局部极值，凸凹性与拐点，列表； e. 在直角坐标系中，标出关键点的坐标，画出渐进线，再按讨论的性态逐段描绘. 微积分在解决中学数学问题中的应用远不止这些，在其他