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第2讲 极限与连续 微积分的主要研究对象是函数，它所使用的一个重要工具就是我们要在下面介绍的——极限。极限的严格描述奠定了微积分的理论基础，而微积分学几乎所有的重要概念都以不同的极限形式来表示。 2.2 函数的极限 一、极限的概念 首先让我们看看反正切函数的图形 当自变量向变化时，函数值在向靠近。而且向充分接近时，函数值可以和任意靠近。我们将向充分接近说成趋于，记为。一般地，当自变量趋于时，如果函数的函数值和某个常数任意靠近，我们就称函数当趋于时以为极限（或称当趋于时，的极限是）。记为 或 如我们在开始看到的情形就是 类似可以得到，仍以反正切函数为例，有 再一次观察反正切函数的图形，当自变量向点变化时，函数值在向靠近。而且向点充分接近时，函数值可以和任意靠近。我们将向点充分接近说成趋于，记为。一般地，当自变量趋于时，如果函数的函数值和某个常数任意靠近，我们就称函数当趋于时以为极限（或称当趋于时，的极限是）。记为 或 这样我们就得到 极限的直观意义可以用下面的图形说明 函数在一点的极限可能存在，也可能不存在，如函数当时的极限就不存在，我们也可以从图形中看出 再看下面这个图形 可以看出，这个函数当时没有极限，但当从大于的方向趋于时，函数值与任意接近。一般地，当自变量从大于的方向趋于时，如果函数的函数值和某个常数任意靠近，就称为在点的右极限，记为 类似可以给出在点的左极限，记为。如此一来我们就有了以下结论 存在的充分必要条件是和都存在，且 二、极限的运算法则 为了方便地计算函数的极限，我们不加证明地给出极限的运算法则： 若，存在，则有 为常数 （假定） 例1 求。 解 观察发现本题不能直接应用极限的四则运算法则，但对表达式经适当整理后就可以应用极限的四则运算法则， 例2 求。 解 观察发现本题不能直接应用极限的四则运算法则，但对表达式经适当整理后就可以应用极限的四则运算法则， 只有极限的四则运算法则对解决的计算还是不够的，接下来我们大家介绍两个重要的极限。 2.3 两个重要极限 我们先给出两个重要的极限公式 之所以说这是两个重要极限，一方面因为它们出自于两个极限存在定理，另外在后面求基本初等函数的导数时需要用到。 在这里我们只给出第一个极限的证明，为此先不加证明地给出一个极限存在定理 夹逼定理 设在的某领域内（可不包含点）有 且，则存在且 下面就来证明第一个重要极限，先看一下下面这张图 图中的圆周是单位圆周，圆心角的弧度是，则有 线段的长度为 弧的长度为 线段的长度为 当时，有 从而有 从而有 当时，，由夹逼定理得 由于都是奇函数，因此当时，有 即 从而有 从而有 当时，，由夹逼定理得 最后得到 例3 求。 解 本题不能直接应用第一个重要极限公式，需要作适当变换。注意到趋于0时，也趋于0，有 例4 求。 解 本题不能直接应用第一个重要极限公式，需要作适当变换。注意到趋于3时，趋于0，有 2.4 无穷小量与无穷大量 定义2.5 极限为零的量称为无穷小量。 定理2.1 的充分必要条件是 其中是无穷小量。 利用极限的运算法则很容易得到无穷小量的如下性质 ⒈有限个无穷小量的代数和是无穷小量。 ⒉有限个无穷小量的乘积是无穷小量。 ⒊无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量。 ⒋任意常数与无穷小量的乘积是无穷小量。 例5 求。 解 前面我们已经知道，当时极限不存在，但它是有界变量，而是无穷小量。由无穷小量的性质3知是无穷小量，即 如果都是无穷小量，而仍然是无穷小量，这是称是关于的高阶无穷小量，记为。 如果是无穷小量，那么称为无穷大量。例如当时就是无穷大量。 2.5 函数的连续性 先看看下面的图形 以上几个函数的图形在点都存在不同形式的“断裂”，但归纳起来，这些情况属于要么在的极限不存在，要么在的极限不等于在该点的函数值。 定义2.6 设函数在的一个邻域内有定义，且等式成立，则称在点处连续，称为函数的连续点。若不是的连续点，则称为函数的间断点。 例6 判断设函数 在点处是否连续。 解 因为在点处有 可知不存在，由定义2.6可知在点处不连续，即是的间断点。 如果函数在区间内的每个点都连续，则称在区间内连续。 可以证明基本初等函数在它们的定义域内都是连续的，而函数的四则运算和复合运算仍保持函数的连续