有限与无限解析.ppt

第二部分 cantor集合论中的“无穷观” 序、康托小传 一、自然数“可数”吗？ 二、 数轴上任取一点，恰是有理数的概率有多大？ 三、正方形一边上的点与正方形内的点一样多吗？ 四、 集合论悖论 五、有何感想？ 序、康托简介 背景.19世纪，数学界出现三件大事。 一是极限理论的创立，它终于让人类暂时摆脱了无穷小量的纠缠，数学界以为可以踹一口气了。 二是非欧几何的产生并得到逻辑认可：“三角形内角和”的三种说法都对。这后者导致人们对数学的疑问：数学，作为其它科学真理的支撑，它是真理吗？ 数学的严密化依然迫在眉睫，人们必须重新审视数学，把数学建立在坚实的基础上。于是出现了德国数学家康托。 康托简介 康托（Georg Cantor，1845-1918） ，德国数学家，集合论的创立人。1845年3月3日生于彼得俄国堡。1856年全家迁居德国。23岁获博士学位，Cantor29岁（1874）时在《数学杂志》上发表了关于集合论的第一篇论文，创立了集合论。 1884年患了精神分裂症，住进疯人院。 1897年在第一次国际数学家会议上他的成就得到承认。1918年死于疯人院。 在今天，集合论已被公认为全部数学的两个基础之一（另一个是形式逻辑）。集合论的创立是19世纪数学界的三件大事。 集合论遭遇 世界文明史上，经常出现的一种现象是：一些天才们的观念往往被人“误解”，甚至遭到猛烈的攻击，一直于发展到人身攻击。原因是，他们的观念太过超前，跟人类的传统观念发生冲突。 集合论的出现也是如此。它一出现就遭到。一些大数学家如C.H. Wey1（1885－1955），F.Klein（1849－1925）的反对。好友H．A． Schwarz (1843～1921)也因此与之断交。就连被誉为“博大精深，富于创举”的Pioncare 也把集合论比作有趣的“病理情形”，甚至他的老师Kronecker攻击Cantor是“神经质”，不承认他这个学生……，在柏林大学的学生面前公开攻击康托尔 阻挠康托尔在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位. 人们骂他是疯子…… 面对这些非议，Cantor温和的给出了回应，他说：“我的理论犹如磐石一般坚固，任何反对它的人都将搬起石头砸自己的脚.”他还指出：“数学的本质在于它的自由性，不必受传统观念束缚。”这种争辩持续了十年之久。Cantor由于经常处于精神压抑之中。 另一方面，随着研究的越来越深入，康托不得不面临着另一个心理压力，也就是自己的研究成果与传统（“直观事实”）相悖也来越多，甚至出现了逻辑悖论（康托悖论）：最大集合的幂集比最大集还大。 他终于疯了，最终死在了疯人院。 康托疯掉的第二个原因是他用计数原理（自己发现的，人类一直使用的）去计算集合的元素个数时，得到了越来越多“荒唐”的结论，心理压力日益加重，以至无法承受。 一、自然数“可数”吗？ （一）从计数法则到自然数的可数性（潜无限） （二）n维空间的有理点均可数 （三）代数数知多少 究竟是什么结论呢？我们往下看 下面分析康托疯掉的第二个原因 （一）从计数法则到自然数的可数性（潜无限） 计数法则： 古代:刻痕计数，投石计数，屈指计数等 例: 全体=部分！ 又例.直径相异的圆周，谁包含的点更多？ M C D Y B A X 称自然数集为可数集（即可列集），为说话方便起见，有时视有限集为可数集. 有限集定义：全体大于部分. (二）n 维空间有理点均可数（4点） 1.整数集是可数集 注：有限集加可数集也是可数集，即： 2. 可数个可数集的并集是可数集 借助于对角线法则，我们证明了： 可数个可数集的并集是可数集.即： 由此可知：可数集的并集是可数集. 3.有理数集（稠密集）可数 分析. 如果正有理数集可数，则负有理数集可数，则有理数集可数.故只需证明正有理数集可数. 如下图，对角线法则所示： 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 p q 1， (1 , 1)，1/1 2 , (2 , 1) , 1/2 3 , (1 , 2) , 2/1 6 , (4 , 1), 1/4 … ? … … 结论：正有理数集可数 4 , (3 , 1), 1/3 5 , (1 , 3) , 3/1 注：比值相同的数只例举第一个，比如2/1,4/2,6/3……， 又如1/2,2/4,3/6,…… b5 b4 b3 b2 b1 a1 a2 a3 a4 a5 B B 2， (a1 ,b1)， 3 , (a1 , b2) , (a2 , b1) , … ? … … 4 ,