文科考研第六章 无穷级数[精选].pptVIP

第六章无穷级数 典型例题 题型2：求幂级数的收敛域 题型3：求幂级数的和函数 题型4：求数项级数的和 题型5：将函数展开成幂级数 题型6：其它 END 例9 【答案】 应选(B). 例9 【评注】 应了解以下结论： 解 例10 收敛级数加括号仍收敛，故(D)正确. 由性质：正项级数加括号或去括号不改变其敛散性，可判定(C)选项是错误的. 解 即原级数非绝对收敛． 一方面, 是条件收敛还是绝对收敛？ 例11 由莱布尼茨定理知, 另一方面, 故原级数是条件收敛． 解 例12 由正项级数的比较判别法知,原级数收敛. 本题这种放大通项的办法,有一定的难度. 例12 例1 解 【评注】 也可以这样求解： 解 例2 【答案】 应选(A). 解 例3 解 例4 收敛半径 例1 解 由一阶线性方程的通解得 于是 例2 解 逐项求导得 例3 解 两边0到x积分，得 导数左正右负， 例4 解 所以 例5 解 答案: 类题 [Ⅰ05(16)12] 例1 解 解 例2 (Ⅰ93五7) 例3 解 x y o 例4 解 所以 考虑幂级数 所以 解 例5 (1) 所以级数收敛； (2) 用比值判别法， (2) 和函数 * 1、常数项级数 级数的部分和 定义 级数的收敛与发散 性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变. 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和. 级数收敛的必要条件: 收敛级数的基本性质 常数项级数审敛法 正项级数 任意项级数 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 4. 莱布尼茨定理 3. 按基本性质; 1. 2. 交错级数 5.条件收敛 定义 2、正项级数及其审敛法 充分必要条件: (1) 比较审敛法 比较审敛法的极限形式： , 设 ? ￥ = 1 n n u 与 ? ￥ = 1 n n v 都是正项级数 如果 , 当 时 ; 则 (1) 两级数有相同的敛散性 (3) 当 时 , 若 ? ￥ = 1 n n v 发散 , 则 ? ￥ = 1 n n u 发散 ; (2) 当 时，若 收敛 , 则 收敛 ; 以下两个级数是常用的比较对象： 定义 正 、负项相间的级数称为交错级数. 3、交错级数及其审敛法 定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 4、任意项级数及其审敛法 5、函数项级数 (1) 定义 (2) 收敛点与收敛域 否则称为发散点. (3) 和函数 所有发散点的全体称为发散域. (1) 定义 5、幂级数 (3) 收敛半径 (4) 和函数的分析运算性质： 且收敛半径仍为R. 且收敛半径仍为R. 6、幂级数展开式 (1) 定义 (2) 充要条件 (3) 唯一性 (3) 展开方法 a.直接法(泰勒级数法) 步骤: b.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式. (4) 常见函数展开式 ( α 不为正整数) 题型1：判定数项级数的敛散性 例1 判别下列级数的收敛性： 解 所以原级数发散． 解 例2 用比值审敛法, 所以级数收敛。 解 例3 【答案】 应选(D). 解 例3 【评注】 解 例4 从而原级数绝对收敛. 由基本不等式可知， 【答案】 应选(B). 解 例5 (96,3分) 下列各选项正确的是（ ）. 由正项级数的比较判别法可得结论. 【答案】 应选(A). 解 例6 【答案】 应选(C). 解 例7 【答案】 应选(D). 解 例7 解 例8 所以原级数也发散. * * *