高等数学教案ch_5_定积分..docVIP

第五章 定积分 教学目的： 理解定积分的概念。 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点： 定积分的性质及定积分中值定理 定积分的换元积分法与分部积分法。 牛顿—莱布尼茨公式。 教学难点： 定积分的概念 积分中值定理 定积分的换元积分法分部积分法。 变上限函数的导数。 §5. 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积 曲边梯形: 设函数y=f(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值: 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a, b]中任意插入若干个分点 a=x0 x1 x2 ? ? ? xn-1 xn =b, 把[a, b]分成n个小区间 [x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], ? ? ? , [xn-1, xn ], 它们的长度依次为?x1= x1-x0 , ??x2= x2-x1 , ? ? ? , ?xn = xn -xn-1 . 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形. 在每个小区间 [xi-1, xi ]上任取一点??i , 以[xi-1, xi ]为底、f (??i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i=1, 2, ? ? ? , n) , 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值, 即 A?f (??1)?x1+ f (??2)?x2+? ? ?+ f (??n )?xn. 求曲边梯形的面积的精确值: 显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记 ?=max{?x1, ?x2,? ? ?, ?xn }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令??0. 所以曲边梯形的面积为 . 2. 变速直线运动的路程 设物体作直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔[T 1, T 2]上t的连续函数, 且v(t)?0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . 求近似路程: 我们把时间间隔[T 1, T 2]分成n 个小的时间间隔?ti , 在每个小的时间间隔?ti内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔?ti内某点??i的速度v(??i), 物体在时间间隔?ti内 运动的距离近似为?Si= v(??i)??ti . 把物体在每一小的时间间隔?ti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 , T 2]内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是: 在时间间隔[T 1 , T 2]内任意插入若干个分点 T 1=t 0 t 1 t 2? ? ? t n-1 t n=T 2, 把[T 1 , T 2]分成n个小段 [t 0, t 1], [t 1, t 2], ? ? ?, [t n-1, t n] , 各小段时间的长依次为 ?t 1=t 1-t 0, ?t 2=t 2-t 1,? ? ?, ?t n =t n -t n-1. 相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为 ?S 1, ?S 2, ? ? ?, ?S n. 在时间间隔[t i-1, t i]上任取一个时刻? i (t i-1? i t i), 以? i时刻的速度v(? i)来代替[t i-1, t i]上各个时刻的速度, 得到部分路程?S i的近似值, 即 ?S i= v(? i)??t i (i=1, 2, ? ? ? , n). 于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即 ; 求精确值: 记? = max{?t 1, ?t 2,? ? ?, ?t n}, 当??0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程 . 设函数y=f(x)在区间[a, b]上非负、连续. 求直线x=a、x=b、y=0 及曲线y=f (x)所围成的曲边梯形的面积. (1)用分点a=x0x1x2 ? ? ?xn-1xn =b把区间[a, b]分成n个小区间? [