CH1复变函数讲解.pptVIP

证明： 在复平面上解析，且 例题： * （二）解析函数的性质 第四节 解析函数 解析函数与调和函数 调和函数： 在B上解析，则 称 u,v 为二维调和函数 1、由C-R条件联系的两个调和函数称为共轭调和函数 2、B上两个共轭调和函数u，v构成 在B上解析 第四节 解析函数 （二）解析函数的性质 共轭调和函数的几何意义 若 在B上解析 ，其实部与虚部构成区域B上的两组正交曲面（线）族： 如： 平行板电容器中的电位分布 在几何上 表示一个曲线 等高线 梯度为等高线上的法向量 背景知识 证明：由C-R条件 即：实部虚部对应函数的梯度 正交 例：平面静电场的电场线和等势线 * （三）解析函数的实部与虚部互求 已知 u(x,y)， 求 v(x,y)： 由C-R条件 已知： ， 求解析函数 例： * 求 v 的方法有： 曲线积分法 凑全微分法 不定积分法 * 求 v 的方法有： 曲线积分法 凑全微分法 不定积分法 * 求 v 的方法有： 曲线积分法 凑全微分法 不定积分法 * O y (x,0) Rez Imz (x,y) * * * 例： 已知： ， 求解析函数 * 第一篇 复变函数论 第一章 复变函数 第一节 复数与复数运算 第二节 复变函数 第三节 导数 第四节 解析函数 第五节 初等解析函数 第五节 初等解析函数 一、初等单值函数 （一）幂函数 （二）二项式函数 （三）有理式函数 （四）指数函数 （五）三角函数 例 二、初等多值函数 讨论： 对应每一组确定的 和 在 区域内有三个不同的w值: 1、当k=0时，w在1区中取值，称1区为w的一个单叶性区域（共3个单叶性区域） 1区 2区 3区 讨论 2、将3个(或n个)不同的单叶性区域把w平面布满之后，就把多值函数划分成了3个（n个）单值分支，每个单叶性区域是其中一个单值分支的值域 * 定义 定义 注1 多值函数的每一单值分支,在支割线两沿取不同值, 且在支割线不连续. 支点和支割线 单值分支：将w的值和z关系分开，解决了多值函数的一一对应关系。 黎曼面： 将z平面扩充，解决z和w的一一对应关系。 *黎曼面 例： z平面 三个平面的叠合 黎曼面 * 因为初等复变多值函数的多值性是由于辐角的多值性引起的，所以我们先研究辐角函数： w=Argz函数有无穷个不同的值： 二、初等多值函数 根式函数 * 其中argz表示Argz的主值：(我们也把Argz的任意一个确定的值记为argz ) 考虑复平面除去正实轴（包括0）而得的区域D。显然，在D内，Argz的主值argz 是一个单值连续函数 。 对一个固定的整数k， 也是一个单值连续函数 。 * 因此，w=Argz在区域D内可以分解成无穷多个单值连续函数，它们都是w=Argz在D内的单值连续分支。 沿正实轴的割线： 上沿 下沿 * 例1 解 * 注2 取正实轴为支割线,在正实轴上取正实数值的那一 支为主值支. 例2 解 例2 常见的多值函数：对数函数、一般幂函数、一般指数函数等 1）对数函数 若 ，则称w为z的对数函数， 2）一般幂函数 3）一般指数函数 例： 1、计算 2、计算 1 * 第一章 复变函数 第一章 复变函数 第一节 复数与复数运算 第二节 复变函数 第三节 导数 第四节 解析函数 第五节 初等解析函数 * 第一篇 复变函数论 第一章 复变函数 第一节 复数与复数运算 第二节 复变函数 第三节 导数 第四节 解析函数 第五节 初等解析函数 重点： 复数的概念、无限远点的定义. 难点： 主辐角、复数“零”、无限远点 一 、复数的基本概念 代数式 三角式 (复平面上的点可重复) 指数式 无穷远点： （无明确的幅角的定义） 零点：x=y=0 （无明确的幅角的定义) * 第一节 复数与复数运算 实部Re(z) 虚部Im(z) 模 幅角 复平面 二、复数的几何意义： 三、复数的运算： 加减法：