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第三节 二项式定律一、二项式定理　　1．定理：．　　2．定理的特征：　　（１）二项展开式共有项；　　（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n；　　（3）a的指数从n开始逐项减1直到0，而b的指数从0逐项增1直到n．二、通项公式　　1．公式（其中）．　　2．说明：　　（１）表示的是第k+1项，而非第k项；　　（２）公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒．　　3．应用：　　（１）可以求指定的项及其项的系数．　　（２）可以求展开式中某一特殊项．　　应用时要注意以下几点：　　（1）要能准确地写出通项，特别注意符号问题；　　（2）要将通项中的系数和字母分离开来，以便解决有关问题；　　（3）通项公式中含有a，b，n，k，五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求第五个元素．在有关二项式定理的问题中，常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题．这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组），这里必须注意n是正整数，k是非负整数，且．三、系数问题　　1．二项式系数：二项展开式中，系数叫做展开式的二项式系数．　　2．二项式系数的性质：　　（1）对称性　　与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即．　　（2）最大值　　当n为偶数时，展开式的项数为奇数，此时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，展开式的项数为偶数，此时，中间两项的二项式系数相等，共同做二项式系数中的“老大”．　　（3）各二项式系数的和　　由，　　令x=1，得，二项式系数的和为．　　令，得．奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和．　　说明：在二项展开式中，有关系数的和或组合数中一些和的问题，可对照二项展开式，对a，b赋以特殊值，是解决这类问题的基本方法．　　3．二项式系数与项的系数的区别：　　如的展开式中，第项的二项式系数为，而第项的系数为．四、二项展开式的应用　　利用二项式定理证明整除性或求余数，关键是对被除式进行合理的变形，把它写成恰当的二项式的形式，使其展开后的每一项都是含有除式的因式或只有一、二项不能整除的因式．例题：例1．展开．解一： ．解二：．例2．展开．解：．例3．求的展开式中的倒数第项解：的展开式中共项，它的倒数第项是第项，．例4．求（1），（2）的展开式中的第项．解：（1）， （2）．点评：，的展开后结果相同，但展开式中的第项不相同例5．（1）求的展开式常数项；（2）求的展开式的中间两项解：∵，∴（1）当时展开式是常数项，即常数项为；（2）的展开式共项，它的中间两项分别是第项、第项，，例6．（1）求的展开式的第4项的系数；（2）求的展开式中的系数及二项式系数解：的展开式的第四项是，∴的展开式的第四项的系数是．（2）∵的展开式的通项是，∴，，∴的系数，的二项式系数．例7．求的展开式中的系数分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开解：（法一），显然，上式中只有第四项中含的项，∴展开式中含的项的系数是（法二）：∴展开式中含的项的系数是．例8．已知的展开式中含项的系数为，求展开式中含项的系数最小值分析：展开式中含项的系数是关于的关系式，由展开式中含项的系数为，可得，从而转化为关于或的二次函数求解解：展开式中含的项为∴，即，展开式中含的项的系数为，∵，∴，∴，∴当时，取最小值，但，∴时，即项的系数最小，最小值为，此时．例9．已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项解：由题意：，即，∴舍去） ∴①若是常数项，则，即，∵，这不可能，∴展开式中没有常数项；②若是有理项，当且仅当为整数，∴，∴，即 展开式中有三项有理项，分别是：，，例10．求的近似值，使误差小于．解：，展开式中第三项为，小于，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴，一般地当较小时课堂练习：1.求的展开式的第3项.2.求的展开式的第3项.3.写出的展开式的第r+1项.4.求的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.5.用二项式定理展开：（1）；（2）.6.化简：（1）；（2）7．展开式中的第项为，求． 8．求展开式的中间项二项式定律 练习一、选择题：1．在的展开式中，的系数为（） A．B．C．D．2．已知，的展开式按a的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n等于（）A．4 B．9 C．10 D．113．已知（的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是（）A．10 B．11 C．12 D．134．5310被8除的余数是（）A．1B．2C．3D．75．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值