《第4章多自由系统自由振动01.docVIP

§4-1无阻尼系统自由振动的运动方程 §4-2 刚度影响系数和柔度影响系数 刚度矩阵K的各元素kij（i=1,2,…,n；j=1,2,…,n）称为刚度影响系数。其物理意义为：在坐标xJ发生单位位移，而其他坐标的位移均为0，即xj =1,xr=0(r=1,2,…,n,r?j)，并且系统保持静平衡时，在xi处作用的力为kij。 k11=k1+k2 ;k21=-k2 ;k31=0 同理： k12=-k2 ;k22=k2+k3 ;k32=-k3 k13=0 ;k23=--k3 ;k31=k3 若按刚度影响系数定义，物体位移分别为x1、x2、x3，为保持系统平衡需加于物体的力的力P1、P2、P3应分别为 矢量表示： 柔度系数矩阵F表示系统在单位力矢量作用下各坐标的位移量。n自由度系统的柔度矩阵F也为n阶方阵，其元素fij称为柔度影响系数，其物理意义为：在xj处作用单位力，而其分坐标处不受力，即Pj=1，Pr=0（r=1,2,…,n;r?j）时，xi处所产生的静位移为fij。 其中： 同理： 若按柔度影响系数定义，物体分别受力P1、P2、P3作用，则物体的静位移x1、x2、x3分别为： 矢量表示： 由 即K与F互为逆阵：F=K-1 ,K=F-1 。 由位移互等定理可知，fij=fji,kij=kji,K与F为对称矩阵：K=KT ，F=FT 若刚度系数矩阵或柔度系数矩阵已知，则可用动静法直接列出系统运动方程。即K、F已知，将物体运动产生的惯性力作为作用在系统上的作用力P，则有 §4-3 固有频率 主振型与正交性 设系统运动方程的解为： 代入系统运动方程得： 系统的特征方程： 上式是?2的n 次方程，由此方程可以求得系统的n个特征值。将各特征值平方根就是系统的固有频率,按小到大的顺序排列为?1?2…?n ,最低频率称为基本频率.由于一般情况下振型频率数越高,其强迫振动的振幅越小,在实际应用中常常只需计算前几个频率,归重要的是基本频率. 将N个特征值代入(4-3-2)式,可以得到对应于每个特征值?i2的各振幅之比 A1(i): A2(i): A3(i):…: An(i) (i=1,2,…n) 或表示为系统的n个振型矢量 (4-3-4) 这n个振幅比或n个振型矢量称为对应于各固有频率的固有振型或主振型。依次为第一主振型、第二主振型等。 主振型的计算除线性代数方程的基本计算方法外，也可利用特征矩阵H=（K-?2M）的伴随矩阵来求。由于 此时 则 即振型矢量A说法不一与H?的任何一列成比例。因此由对应于特征值的伴随矩阵H?中任意一列可以求得各相应的振型矢量。 按顺序将n个振型矢量为列组成一n阶方阵，—N自由度系统的振型矩阵 §4-4 无阻尼系统对初始条件的响应 §4-5 无阻尼系统对激励力的响应 §4-6 阻尼系统的一般响应 m 2m m 2m In - phase 0.731 1 Out – of - phase -2.73 1 m1 m2 k3(x3-x2) -k2(x2-x1) m1 m1 k3(x3-x2) m1 m2 m3 x1 x2 k1 k2 k3 m1 k2(x2-x1) -k1x1 m1 m2 m3 x1=1 x2=0 k1 k2 k3 x3=0 m1 m2 m3 x1=1/k1 x2=1/k1 k1 k222 k3 x3=1/k1