立體几何中的向量方法(三)----利用向量方法求距离.docVIP

§3.2　立体几何中的向量方法(三) 教学目标:1.会求空间中的两点间距离以及点到平面间的距离 2.能够运用向量解决立体几何中的一些问题. 教学重难点:求空间点到平面距离;向量法求空间角以及平行与垂直的证明. 知识点一 立体几何中的平行垂直及二面角 例1、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC， E是PC的中点，作EF ⊥PB交PB于点F。 （1）求证：PA∥平面EDB； （2）求证：PB ⊥平面EFD； （3）求二面角C-PB-D的大小。 A B 知识点二　求两点间的距离 例2　已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折叠，使面ABC与面ADC垂直，求BD间的距离． 【反思感悟】　求两点间的距离或某线段的长度的方法： (1)把此线段用向量表示，然后用|a|2＝a·a通过向量运算去求|a|.(2)建立空间坐标系，利用空间两点间的距离公式d＝求解． 变式1　如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜ )． (1)求MN的长； (2)当a为何值时，MN的长最小． 知识点三 求点到平面的距离 例3　在三棱锥B—ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离． 【反思感悟】　利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可． 课堂小结： 1．求空间中两点A，B的距离时，当不好建系时利用|AB|＝|| ＝来求． 2．点B到平面α的距离：| |=.(如图(2)所示) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 课后练习 一、选择题 1.若O为坐标原点， =（1，1， 2）， =（3，2，8），=（0，1，0），则线段AB的中点P到点C的距离为（ ） A. B．2 C. D. 2．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是(　　) A． B. C. D. .3．在直角坐标系中，设A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标平面折成120°的二面角后，则A、B两点间的距离为(　　) A．2 B. C. D．3 4．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　) A. B. C. D. 二、填空题 5．已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为________． 7．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点A到平面A1BD的距离为________． 三、解答题 8．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1. (1)求BF的长； (2)求点C到平面AEC1F的距离． 9．如图，在棱长为２的正方体中，E、F分别是棱的中点． （Ⅰ）求异面直线所成的角； （II）求和面EFBD所成的角； （III）求到面EFBD的距离 解　方法一　 过D和B分别作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F， 则由已知条件可知AC＝5， ∴DE＝＝，BF＝＝. ∵AE＝＝＝CF， ∴EF＝5－2×＝， ∴＝＋＋. ||2＝ (＋＋)2＝2＋ 2＋2＋2·＋2·＋2·. ∵面ADC⊥面ABC，而DE⊥AC， ∴DE⊥面ABC， ∴ DE⊥BF, ⊥, ||2＝2＋2＋2＝＋＋＝， ∴||＝. 故B、D间距离是. 方法二　 同方法一．过E作FB的平行线EP，以E为坐标原点，以EP，EC，ED所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图．DE＝FB＝， EF＝，∴D，B， ∴＝，| |＝ ＝. 解　(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1) ∵CM＝BN＝a(0a)，四边形ABCD、ABEF为正方形， ∴M(a,0,1－a)，N(a，a,0)，∴|＝(0，a，a－1)， (2)由(1)知MN