立體几何和解析几何中最值问题解法.docVIP

立几和解几中最值问题解法的类比 几何学中的最值问题与几何图形的性质相关联，常常通过画图、几何变换和利用几何中不等量的关系来求解。建立函数关系，把几何问题转化为代数问题（即代数化）进行求解，也是一种重要的思想方法。 一、“展平法”是解决多面体和旋转体表面距离最短问题的有效手段 例1. 已知边长为1的正方体ABCD，一只蚂蚁沿其表面从A点爬到C1点，求其最短距离。 （如图1将几何体展平有三种形式，只需比较AE、AF、AG的大小即可） 图1 引申1：已知长方体ABCD－的长、宽、高分别为3、2、1，求沿其表面从A点到C1点的最短距离。 引申2：若引申1中长、宽、高分别设为，结果如何？ 二、利用曲线的定义和性质求解析几何中的最值问题是其特有的方法 例2. 如图2，已知P是椭圆上的动点，求它到左焦点F1的最小距离和最大距离。 图2 解：由椭圆的第一定义知， 在△中， 则 故 当且仅当点P与椭圆的左（右）顶点重合时 左（右）边的等号成立。 引申：如图3，已知椭圆的方程为，是椭圆的左、右焦点，点是椭圆内的点，而点P为椭圆上的动点，求的最值。 图3 解：由椭圆第一定义知： 在△中， 则 当且仅当点F2在线段PM上时取等号。 同理：， 当且仅当点M在线段PF2上时取等号。 引申2：如图4，已知椭圆的方程为，是椭圆的左、右焦点，e为其离心率，直线l为其左准线，点M（）是椭圆内的点，而点P为椭圆上的动点，求的最小值。 图4 解：由点P向l作垂线，垂足为H， 当且仅当M、P、H三点共线时取等号。 三、“引变量，建函数”，运用配方法求最值 例3. 直平行六面体底面两邻边之和为a，底面的锐角为30°，侧面积为S，求其体积的最大值。 解：设底面一边长为x，则其邻边长为（如图5） 图5 又设直平行六面体的高为h、体积为V 则。 ∴ 故当且仅当时，。 四、“选变量，寻定值”，运用基本不等式求最值 例4. 如图6，在椭圆上求点P，使过点P的切线与两坐标轴围成的三角形的面积最小。 图6 解：设点P，则其切线方程为。 故其与两坐标轴的交点分别为 则 当且仅当点P为时取等号。 五、“取变量，化形式”，运用三角函数求最值 例5. 设AB为过椭圆中心的弦，F1为其左焦点，求△ABF1的最大面积。 解：设点A（5），则点 而，则 当  　　 　　 第 1 页 共 5 页