优·第六章节定积分及应用g.pptVIP

第二节　微积分基本定理 定积分的应用 解 椭圆的参数方程 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． 解 椭圆的参数方程 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． 解 由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积 解 利用对称性知 例7 解： x y o 两边同时对 求导 积分得 所以所求曲线为 求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积. （注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算） 三、小结 练 习 题 练习题答案 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 一、旋转体的体积 第三节 体 积 x y o 旋转体的体积为 解 直线 方程为 解 解 补充 利用这个公式，可知上例中 解 体积元素为 二、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算. 立体体积 解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 解： 交点 立体体积 例7 旋转体的体积 平行截面面积为已知的立体的体积 绕 轴旋转一周 绕 轴旋转一周 绕非轴直线旋转一周 三、小结 练 习 题 练习题答案 4、定积分的性质 性质1 性质2 性质3 性质5 推论： （1） （2） 性质4 性质7 (定积分中值定理) 性质6 积分中值公式 5、牛顿—莱布尼茨公式 定理1 定理2（原函数存在定理） 定理 3（微积分基本公式） 也可写成 牛顿—莱布尼茨公式 6、定积分的计算法 换元公式 （1）换元法 （2）分部积分法 分部积分公式 ７、广义积分 (1)无穷限的广义积分 (2)无界函数的广义积分 例1 解 二、典型例题 例2 解 例3 解 例4 解 例6 解 例7 证 作辅助函数 例8 解 练习题 回顾 曲边梯形求面积的问题 第一节 定积分的元素法一、问题的提出 a b x y o 第六章 定积分的应用 面积表示为定积分的步骤如下 （3） 求和，得A的近似值 a b x y o （4） 求极限，得A的精确值 提示 a b x y o 元素法的一般步骤： 这个方法通常叫做元素法． 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等． 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 一、直角坐标系情形 第二节 平面图形的面积 解 两曲线的交点 面积元素 选 为积分变量 解 两曲线的交点 选 为积分变量 于是所求面积 解 两曲线的交点 选 为积分变量 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分. 例5 计算广义积分 解 例6 计算广义积分 解 故原广义积分发散. 证 例8 计算广义积分 解 瑕点 无界函数的广义积分（瑕积分） 无穷限的广义积分 （注意：不能忽略内部的瑕点） 三、小结 思考题 积分 的瑕点是哪几点？ 思考题解答 积分 可能的瑕点是 不是瑕点, 的瑕点是 练 习 题 练习题答案 一、无穷限的广义积分的审敛法 不通过被积函数的原函数判定广义积分收敛性的判定方法. 　由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积分有以下比较收敛原理． 第八节 广义积分的审敛法 证 由定理１知 例如， 例１ 解 根据比较审敛法１， 例２ 解 所给广义积分收敛． 证 即 收敛. 例5 解 所以所给广义积分收敛. 二、无界函数的广义积分的审敛法 例6 解 由洛必达法则知 根据极限审敛法2,所给广义积分发散. 例7 解 根据比较审敛原理, 练 习 题 练习题答案 一、1、收敛； 2、收敛； 3、发散； 4、收敛； 问题1: 曲边梯形的面积 问题2: 变速直线运动的路程 存在定理 广义积分 定积分 牛顿-莱布尼茨公式 一、主要内容 1、问题的提出 实例1 （求曲边梯形的面积A） 实例2 （求变速直线运动的路程） 方法:分割、近似、求和、取极限. 2、定积分的定义 可积的两个充分条件： 定理1 定理2 3、存在定理 例8 计算 几个特殊积分、定积分的几个等式 定积分的换元法 二、小结 练 习 题 练习题答案 定积分的分部积分公式 推导 一、分部积分公式 第五节 定积分的分部积分法 例1 计算 解 令 则 例2 计算 解 例3 计算 解 例4 设 求 解 例5 解 例6 证明定积