《三角形的内切圆和外接圆.docVIP

三角形外接圆半径的求法及应用 方法一：R＝ab/(2h) 三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。 AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径．求证 AB·AC＝AE·AD． 证：连接AO并延长交圆于点E，连接BE， 则∠ABE＝90°. ∵∠E＝∠C， ∠ABE＝∠ADC＝90°， ∴Rt△ABE∽Rt△ADC， ∴， ∴ AB·AC＝AE·AD 方法二：2R＝a/SinA，a为∠A的对边 在锐角△ABC中，外接圆半径为R。求证： 2R＝AB/SinC 证：连接AO并延长交圆于点E，连接BE， 则∠ABE＝90°. ∴AE＝AB/SinE ∵∠C＝∠E，SinC ＝SinE ∴AE＝AB/SinC ∴2R＝AB/SinC 若C为钝角，则SinC＝Sin（180o－C） 应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。 例1 已知：如图，在△ABC 中，AC＝13，BC＝14，AB＝15，求△ABC外接圆⊙O的半径r. 分析：作出直径AD，构造Rt△ABD.只要求出△ABC中BC边上的高AE，用方法一就可以求出直径AD. 解：作AE⊥BC，垂足为E. 设CE＝x, ∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2 ，∴132-x2＝152-(14-x)2 ∴x=5,即CE＝5，∴AE＝12 R＝ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8 ∴△ABC外接圆⊙O的半径r为. 例2 已知：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5，求△ABC的外接圆的半径R. 分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。 应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径。 例3 已知：如图，在△ABC 中，AC＝2，BC＝3，∠C＝60°，求△ABC外接圆⊙O的半径R. 分析：考虑求出角的对边长AB，然后用方法一或方法二解题. 解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E. 则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°， ∠CAE＝∠DAB＝ 90°－ 60°＝30° CE＝AC＝1，AE＝，AB=√7∴R=AC·AB/2AE=2x√7/(2x) 应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特殊角），求它的外接圆的半径。 用方法二 例4 已知AD=5,AC=7,CD=3,AB=10√3，求它的外接圆的半径 解 从A作AM⊥BC于M，则 AD2－MD2＝A M2 ＝AC2－(MD＋CD)2．即 52－MD2＝72－(MD＋3)2． 　　 得R＝14，　　则△ABC外接圆面积S＝πR2＝196π． 例5 如图3，已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上， 求①抛物线的顶点坐标； ②抛物线与x轴的交点B、C的坐标； ③△ABC的外接圆的面积． 　　解 ①A(2，－9)； 　　 　②B(－1，0)； C(5， 0)． 　　　 ③从A作