文科一轮学学案5.3平面向量的数量积解析.docVIP

学案5.3 平面向量的数量积 自主预习案 自主复习 夯实基础 【双基梳理】 1.两个向量的夹角 (1)定义 已知两个 向量a，b，作＝a，＝b，则 称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉. (2)范围 向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉. (3)向量垂直 如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作a⊥b. 2.向量在轴上的正射影 已知向量a和轴l(如图)，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称 )，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的 或在轴l的方向上的 . ＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos θ. 3.向量的数量积 (1)平面向量的数量积的定义 |a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)向量数量积的性质 ①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉； ②a⊥b?a·b＝0； ③a·a＝|a|2，|a|＝； ④cos〈a，b〉＝ (|a||b|≠0)； ⑤|a·b| |a||b|. (3)数量积的运算律 ①交换律：a·b＝b·a. ②对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb). ③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. (4)数量积的坐标运算 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 ①a·b＝ 2； ②a⊥b? ； ③|a|＝； ④cos 〈a，b〉＝. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　　) (2)向量在另一个向量方向上的正射影为数量，而不是向量.(　　) (3)在四边形ABCD中，＝且·＝0，则四边形ABCD为矩形.(　　) (4)两个向量的夹角的范围是[0，].(　　) (5)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　) (6)(a·b)c＝a(b·c).(　　) 考点探究案 典例剖析 考点突破 考点一 平面向量数量积的运算 例1　(1)(2015·四川)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　　) A.20 B.15 C.9 D.6 (2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为 ；·的最大值为 . 变式训练：　(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·＝ . (2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝ . 考点二 用数量积求向量的模、夹角 命题点1　求向量的模 例2　(1)已知向量a，b均为单位向量，它们的夹角为，则|a＋b|等于(　　) A.1 B. C. D.2 (2)(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是 . 命题点2　求向量的夹角 例3　(1)(2015·重庆)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D.π (2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是 . 变式训练： (1)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝ . (2)在△ABC中，若A＝120°，·＝－1，则||的最小值是(　　) A. B.2 C. D.6 考点三：平面向量与三角函数 例4　(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈. (1)若m⊥n，求tan x的值； (2)若m与n的夹角为，求x的值. 变式训练： 已知O为坐标原点，向量＝(3sin α，cos α)，＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈，且⊥，则tan α的值为(　　) A.－ B.－ C. D.