数列的概念及应用..docVIP

按一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number）。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。 目录 由来 三角形数 正方形数 概念 表示方法 等差数列 定义 缩写 等差中项 通项公式 前n项和 性质 应用 等比数列 定义 缩写 等比中项 通项公式 前n项和 前n项和与通项的关系 性质 应用 等和数列 定义 性质 练习 一般有 特别数列 特殊数列 前N项和 著名数列 定理口诀 展开 由来 三角形数 正方形数 概念 表示方法 等差数列 定义 缩写 等差中项 通项公式 前n项和 性质 应用 等比数列 定义 缩写 等比中项 通项公式 前n项和 前n项和与通项的关系 性质 应用 等和数列 定义 性质 练习 一般有 特别数列 特殊数列 前N项和 著名数列 定理口诀 展开 编辑本段由来 三角形数 传说古希腊毕达哥拉斯（约公元前570-约公元前500年）学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数。比如，他们研究过 正方形数 由于这些数可以用如右图所示的三角形点阵表示，他们就将其称为三角形数。类似地， 被称为正方形数，因为这些数能够表示成正方形。 因此，按照一定顺序排列的一列数成为数列。 ??三角形点阵 编辑本段概念 数列的函数理解： 数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法；b。图像法；c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。 数列的一般形式可以写成 简记为{an}， 项数有限的数列为“有穷数列”（finite sequence）， 项数无限的数列为“无穷数列”（infinite sequence）。 数列的各项都是正数的为正项数列； 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；如：1，2，3，4，5，6，7； 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；如：8，7，6，5，4，3，2，1； 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列； 各项呈周期性变化的数列叫做周期数列（如三角函数）； 各项相等的数列叫做常数列（如：2，2，2，2，2，2，2，2，2）。 通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式（注：通项公式不唯一）。 递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。 数列中项的总数为数列的项数。特别地，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）为定义域的函数an=f(n)。 如果可以用一个公式来表示，则它的通项公式是a(n)=f(n). 并非所有的数列都能写出它的通项公式。例如：π的不同近似值，根据精确的程度，可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…它没有通项公式。 数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。 用符号{an}表示数列，只不过是“借用”集合的符号，它们之间有本质上的区别：1.集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。2.集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，也就是必须是有序的。 编辑本段表示方法 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。如 。 数列通项公式的特点：（1）有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一。（2）有些数列没有通项公式 如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。如an=2a(n-1)+1 (n1) 数列递推公式的特点：（1）有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。（2）有些数列没有递推公式 有递推公式不一定有通项公式 编辑本段等差数列 定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示，前N项和用Sn表示。 缩写 等差数列可以缩写为A.P.（A