数列的性质和递推公式..docVIP

第二课时　数列的性质和递推公式 【选题明细表】 知识点、方法 题号 递推公式的简单应用 1、5、7 利用递推公式求通项公式 4、10 数列的单调性 2、8、12 数列的周期性 6、9、11 数列的最大(小)项问题 3 基础巩固 1.已知数列{an}满足a1=,an=2an-1+1(n1),那么a4等于(　B　) (A)5 (B)11 (C)23 (D)8 解析:由已知可得a2=2a1+1=2,a3=2a2+1=5,a4=2a3+1=11,故选B. 2.已知数列{an}满足a10且an+1=an,则数列{an}是(　B　) (A)递增数列 (B)递减数列 (C)常数列 (D)摆动数列 解析:因为a10,an+1=an,所以an0. 又因为an+1-an=an-an=-an0,所以an+1an. 故数列{an}是递减数列.故选B. 3.数列{an}的通项公式为an=-2n2+21n,则该数列中最大的项为(　B　) (A)第4项 (B)第5项 (C)第6项 (D)第7项 解析:因为f(n)=-2n2+21n=-2(n-)2+(n∈N*), 所以n=5时,an最大. 因为a5=55,所以最大项为第5项.故选B. 4.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是(　D　) (A)2n-1 (B)()n-1 (C)n2 (D)n 解析:因为an=n(an+1-an),所以=, 所以an=×××…×××a1 =×××…×××1=n.故选D. 5.(2015开封高二期末)数列{an}满足an+1+an=2n-3,则a8-a4等于(　D　) (A)7 (B)6 (C)5 (D)4 解析:a8-a4=a8+a7-a7+a6-a6+a5-a5-a4 =(a8+a7)+(a6+a5)-(a7+a6)-(a5+a4) =2×7-3+2×5-3-(2×6-3)-(2×4-3)=4. 故选D. 6.(2014高考新课标全国卷Ⅱ)数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=　　　　.? 解析:将a8=2代入an+1=,可求得a7=; 再将a7=代入an+1=,可求得a6=-1; 再将a6=-1代入an+1=,可求得a5=2; 由此可以推出数列{an}是一个周期数列,且周期为3, 所以a1=a7=. 答案: 7.在数列{an}中,已知a1=2,an+1=an+n+1,则a10=　　　　.? 解析:a10=a10-a9+a9-a8+…+a2-a1+a1=10+9+8+…+2+2=56. 答案:56 8.数列{an}中,an=(a2-1)(n3-2n)(a≠±1)且数列{an}为递增数列.试确定实数a的取值范围. 解:因为数列{an}是递增数列,所以an+1an. 所以an+1-an=(a2-1)(3n2+3n-1)0. 因为n∈N*,所以3n2+3n-1=3(n+)2-≥50, 所以a2-10,所以a1或a-1. 故a的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞). 能力提升 9.数列{an}满足an+2an=2an+1(n∈N*),且a1=1,a2=2,则数列{an}的前2014项的乘积为(　D　) (A)22012 (B)22013 (C)22014 (D)22015 解析:由an+2an=2an+1(n∈N*), 得an+2=(n∈N*), 由a1=1,a2=2,得a3=4,a4=4,a5=2,a6=1,a7=1, a8=2,a9=4,a10=4… 数列中的项呈周期出现,周期为6, 又一个周期的乘积为26, 因为2014=335×6+4, 所以前2014项的乘积为×1×2×4×4=22015. 10.如图是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图(2)中的直角三角形继续做下去,记OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},则此数列的通项公式为an=　　　　.? 解析:因为OA1=1,OA2=,OA3=,…,OAn=,…,所以a1=1,a2=,a3=,…,an=. 答案: 11.已知数列{an}满足a1=2,an=1-(n∈N*,n≥2),则a3=　　　　,a2014=　　　　.? 解析:因为a1=2, 所以a2=1-=1-=, 从而a3=1-=1-=1-2=-1, a4=1-=1-=2, a5=1-=,a6=1-=-1,…. 由此可知数列{an}各项的值以3为周期重复出现, 于是a2014=a3×671+1=a1=2. 答案:-1　2 探究创新 12.已知an=a()n(a为常数且a≠0),试判断{an}的单调性.下面是一学生的解法,这种解法对吗?如果不对,给出你的结