数列递推公式的九种方法..docVIP

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2017-01-13 发布于重庆
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数列递推公式的九种方法..doc

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数列递推公式的九种方法.

求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一. 一、作差求和法m w.w.w.k.s.5.u.c.o 例1 在数列{}中，,，求通项公式. 解：原递推式可化为：则，……，逐项相加得：.故. 二、作商求和法例2 设数列{}是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3…），则它的通项公式是=▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为： =0 ∵ ＞……，然后猜想出满足递推式的一个通项公式，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。例13 在各项均为正数的数列中，为数列的前n项和，=+ ，求其通项公式。求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如是常数）的数列形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…① 若①有二异根，则可令是待定常数）若①有二重根，则可令是待定常数）再利用可求得，进而求得．例1．已知数列满足，求数列的通项．解：其特征方程为，解得，令，由，得，．例2．已知数列满足，求数列的通项．解：其特征方程为，解得，令，由，得，．二、形如的数列对于数列，是常数且）其特征方程为，变形为…② 若②有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值．这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得．若②有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值．这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得．此方法又称不动点法．例3．已知数列满足，求数列的通项．解：其特征方程为，化简得，解得，令由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，．例4．已知数列满足，求数列的通项．解：其特征方程为，即，解得，令由得，求得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，． 6