数列解题策略..docVIP

高考中数列试题的应对策略 等差数列和等比数列是两个基本的数列，除了要熟练掌握这两个数列的通项公式和求和公式外，还要掌握以下基本性质： 等差数列中{an}中，an=am+(n-m)d或d=(n,m∈N+); 若m+n=p+q,则an+am=ap+aq (m,n,p,q∈N+). 在等比数列中{an}中，an=am qn-m, (n,m∈N+); 若m+n=p+q,则an am=ap aq (m,n,p,q∈N+). 对于非等差等比的数列，要用转化的思想，转化成和等差、等比有关的数列。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。 （2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 递推式为an+1=an+d及an+1=qan（d，q为常数） 【例1】? 已知{an}满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。 解? ∵an+1-an=2为常数 ∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列 ∴an=1+2（n-1） 即an=2n-1 递推式为an+1=an+f（n） 解： 由已知可知 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1） 说明 ?只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求an。 递推式为an+1=pan+q（p，q为常数） 【例4】 {an}中，a1=1，对于n＞1（n∈N）有an=3an-1+2，求an。 解法一： an+1=3an+2，an=3an-1+2。 两式相减：an+1-an=3（an-an-1） 因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=（3×1+2）-1=4 ∴an+1-an=4·3n-1 ∵an+1=3an+2? ∴3an+2-an=4·3n-1 即 an=2·3n-1-1 解法二： {an+1-an}是公比为3的等比数列，于是有： a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32，…，an-an-1=4·3n-2， 把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1 解法三：an+1=3an+2，可以化为an+1-t=3（an-t）， 即是an+1=3an-2t ∴2=-2t? ∴t=-1， 于是得an+1+1=3（an+1），数列{an+1}是公比为3的等比数列，其首项为a1+1=2 ∴an+1=2·3n-1即an=2·3n-1-1 ④递推式为an+1=pan+qn（p，q为常数） 由上题的解法，得： ∴ ③的方法解。 ⑤递推式为an+2=pan+1+qan 思路：设an+2=pan+1+qan可以变形为：an+2-αan+1=β（an+1-αan）， 于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。 求an。 个等式累加得 ⑥递推式为Sn与an的关系式 关系；（2）试用n表示an。 ∴ ∴ ∴ （2）两边同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2则{2nan}是公差为2的等差数列。 ∴2nan= 2+（n-1）·2=2n 2．数列求和问题的方法 （1）、应用公式法 等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。 1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2 【例8】 求数列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…前n项的和。 解? 本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中， 共有1+2+…+n=个奇数，∴最后一个奇数为： 1+[n(n+1)-1]×2=n2+n-1 因此所求数列的前n项的和为 （2）、分解转化法 对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。 【例9】求和S=1·（n2-1）+ 2·（n2-22）+3·（n2-32）+…+n（n2-n2） 解? S=n2（1+2+3+…+n）-（13+23+33+…+n3） （3）、倒序相加法 适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。 ∴ Sn=3n·2n-1 （4）、错位相减法 如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和． 【例11】 求数列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1